Considere uma partícula de massa m confinada dentro de um poço quantico unidimensional e infinito. O poço quântico se encontra definido entre 0 <= x <= a. A função de onda da partícula para o tempo t=0 é:
psi(x, 0)=A[2 sen(pi xa)+sen(3 pi xa]
(a) Normalize psi(x, 0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para normalizar a função de onda de uma partícula em um poço quântico unidimensional infinito. Isso faz parte da mecânica quântica, especificamente tratando de funções de onda e normalização. Para normalizar, vamos precisar calcular a integral do quadrado da função de onda sobre todo o domínio e igualar a 1. Também vamos usar propriedades de funções trigonométricas, como a ortogonalidade das funções seno.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a função de onda dada:
psi(x, 0) = A[2 sin(pi xa) + sin(3pi xa)]
Para normalizar, precisamos que:
integral0^a |psi(x, 0)|^2 , dx = 1
Vamos calcular |psi(x, 0)|^2 = A^2 [2 sin(pi xa) + sin(3pi xa)]^2 :
|psi(x, 0)|^2 = A^2 [4 sin^2(pi xa) + 4 sin(pi xa) sin(3pi xa) + sin^2(3pi xa)]
Expandindo o quadrado:

Passo 3

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral0^a |psi(x, 0)|^2 , dx = A^2 [4 integral0^a sin^2(pi xa) dx + 4 integral0^a sin(pi xa) sin(3pi xa) dx + integral0^a sin^2(3pi xa) dx ]
Sabemos que:
integral0^a sin^2(npi xa) dx = a2
E, para integral0^a sin(npi xa) sin(mpi xa) dx = 0 :
4 integral0^a sin^2(pi xa) dx = 4 cdot a2 = 2a
Aplicando isso aos nossos integrais:
4 integral0^a sin(pi xa) sin(3pi xa) dx = 4 cdot 0 = 0
integral0^a sin^2(3pi xa) dx = a2

Passo 4

Agora, somamos todos os termos:
integral0^a |psi(x, 0)|^2 , dx = A^2 (2a + 0 + a2) = A^2 (5a2)
Para que a função seja normalizada, essa integral deve ser igual a 1:
A^2 (5a2) = 1

Passo 5

Resolvendo para A^2 = 25a :
A = raiz25a

Resposta

A constante de normalização é .

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