Um elétron está confinado num potencial V(x)= (1 / 2) k x^2, onde k é uma constante, e está sujeito para um campo elétrico epsilon ao longo do eixo x. Encontrar os autovalores de energia.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um elétron que está preso em um potencial do tipo V(x) = 12 k x^2, que é basicamente um oscillador harmônico. Além disso, esse elétron está sujeito a um campo elétrico epsilon ao longo do eixo x. Nosso objetivo aqui é encontrar os autovalores de energia, ou seja, os níveis de energia que o elétron pode ter nesse sistema. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre oscilladores harmônicos e como campos elétricos afetam esses sistemas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o potencial total que o elétron sente. Temos duas contribuições:
  1. O potencial harmônico: Vharmônico(x) = 12 k x^2ô
  2. O potencial do campo elétrico: Vcampo(x) = -epsilon x
Então, o potencial total fica:
Vtotal(x) = 12 k x^2 - epsilon x

Passo 3

Para simplificar esse potencial, vamos completar o quadrado. Isso ajuda a reescrever a expressão de uma forma que se assemelha ao potencial harmônico padrão, mas com um deslocamento no eixo x. Vamos reescrever Vtotal(x):
Vtotal(x) = 12 k ( x^2 - 2epsilonk x )
Agora, completamos o quadrado dentro dos parênteses:
x^2 - 2epsilonk x = ( x - epsilonk )^2 - ( epsilonk )^2
Substituindo de volta no Vtotal(x):
Vtotal(x) = 12 k ( ( x - epsilonk )^2 - ( epsilonk )^2 ) = 12 k ( x - epsilonk )^2 - epsilon^22k

Passo 4

Agora, observamos que o potencial Vtotal(x) se parece com o potencial de um oscillador harmônico, mas centrado em x0 = epsilonk. Isso significa que o elétron está oscilando ao redor desse novo ponto de equilíbrio. A energia total do sistema será a soma da energia do oscillador harmônico e da energia constante causada pelo deslocamento.

Passo 5

Sabemos que os autovalores de energia para um oscillador harmônico são dados por:
En = ( n + 12 ) hbar omega
onde n = 0, 1, 2, dots e omega = raizkm é a frequência angular, sendo m a massa do elétron.

Passo 6

Considerando o deslocamento no potencial, também temos uma energia constante adicional:
Econstante = epsilon^22k
Então, a energia total do sistema será a soma das energias do oscillador harmônico e dessa constante.

Resposta

Os autovalores de energia são dados por:
En = ( n + 12 ) hbar omega + epsilon^22k
onde n = 0, 1, 2, dots e omega = raizkm.

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