A função de onda do estado fundamental de uma partícula de massa
é dada por
, com autovalor de energia
. Qual é o potencial em que a partícula se move?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma função de onda do estado fundamental de uma partícula, que é
, e o autovalor de energia associado é
. O que você quer encontrar é o potencial
no qual essa partícula está se movendo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica, especificamente a equação de Schrödinger Dependente do Tempo na sua forma estacionária. Vamos precisar calcular as derivadas da função de onda e rearranjar a equação para isolar o potencial
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a equação de Schrödinger Dependente do Tempo para uma partícula em uma dimensão:
Aqui,
é a constante de Planck reduzida,
é a massa da partícula,
é o potencial que queremos encontrar,
é a energia da partícula, e
é a função de onda.
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar
. Vamos reorganizar a equação para isolá-lo:
Isso significa que precisamos calcular a segunda derivada de
em relação a
, dividir pelo próprio
, multiplicar por
e somar a energia
.
Passo 4
Vamos calcular a primeira derivada de
:
Usando a regra da cadeia:
Passo 5
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
:
Substituindo
:
Passo 6
Agora, substituímos
na expressão para
:
Simplificando:
Passo 7
Para expressar
de forma mais clara, podemos reescrever:
No entanto, geralmente consideramos o potencial sem o termo constante
, já que ele pode ser ajustado conforme a referência de energia.
Resposta
O potencial no qual a partícula se move é dado por: