A função de onda do estado fundamental de uma partícula de massa m é dada por psi(x)= exp (-a^2 x^4 / 4), com autovalor de energia hbar alpha^2 / m. Qual é o potencial em que a partícula se move?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma função de onda do estado fundamental de uma partícula, que é , e o autovalor de energia associado é . O que você quer encontrar é o potencial no qual essa partícula está se movendo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica, especificamente a equação de Schrödinger Dependente do Tempo na sua forma estacionária. Vamos precisar calcular as derivadas da função de onda e rearranjar a equação para isolar o potencial .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a equação de Schrödinger Dependente do Tempo para uma partícula em uma dimensão:
-hbar^22m d^2psi(x)dx^2 + V(x)psi(x) = Epsi(x)
Aqui, é a constante de Planck reduzida, é a massa da partícula, é o potencial que queremos encontrar, é a energia da partícula, e é a função de onda.

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar V(x) = E + hbar^22m 1psi(x) d^2psi(x)dx^2 . Vamos reorganizar a equação para isolá-lo:
Isso significa que precisamos calcular a segunda derivada de em relação a , dividir pelo próprio , multiplicar por e somar a energia .

Passo 4

Vamos calcular a primeira derivada de psi(x) = exp(-a^2 x^44) :
dpsidx = psi(x) cdot (-a^2 cdot 4x^34) = -a^2 x^3 psi(x)
Usando a regra da cadeia:

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda derivada de d^2psidx^2 = ddx(-a^2 x^3 psi(x)) = -a^2 (3x^2psi(x) + x^3 dpsidx) :
d^2psidx^2 = -a^2 (3x^2psi(x) - a^2 x^6 psi(x)) = -a^2 psi(x) (3x^2 - a^2 x^6)
Substituindo :

Passo 6

Agora, substituímos V(x) = E + hbar^22m cdot -a^2 (3x^2 - a^2 x^6) psi(x)psi(x) = E + hbar^22m cdot (-a^2(3x^2 - a^2x^6)) na expressão para V(x) = E - hbar^2 a^22m (3x^2 - a^2x^6) = E - 3hbar^2 a^22m x^2 + hbar^2 a^42m x^6 :
Simplificando:

Passo 7

Para expressar V(x) = hbar^2 a^42m x^6 - 3hbar^2 a^22m x^2 + E de forma mais clara, podemos reescrever:
No entanto, geralmente consideramos o potencial sem o termo constante , já que ele pode ser ajustado conforme a referência de energia.

Resposta

O potencial no qual a partícula se move é dado por:
V(x) = hbar^2 a^42m x^6 - 3hbar^2 a^22m x^2 + hbar alpha^2m

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