Se
calcule
onde
é a urva no plano
de
até - ponto
.
Passo 1
O enunciado fornece:
- O campo vetorial
. - A curva
no plano dada por que vai do ponto até o ponto .
O que é pedido:
- Calcular a integral de linha
ao longo de com orientação de para .
Passo 2
Fórmula e ideia para resolver (passo-a-passo do que vamos usar).
- Se a curva
for parametrizada por , , então a integral de linha de um campo vetorial é
Explicando os símbolos:
-
é a parametrização da curva: dá as coordenadas em função de . -
é o vetor tangente (derivada) — é o que substitui . -
é o campo avaliado ao longo da curva. - O produto escalar
é uma função de que integramos em de até .
Motivação curta: aqui o campo não é necessariamente conservativo, então a forma direta via parametrização é a mais segura.
Passo 3
Escolher uma parametrização consistente com
e com os pontos inicial/final.
- Tomamos
. Então . - Para ir de
até devemos ter variando de até .
Portanto a parametrização é
A derivada é
Passo 4
Avaliar o campo
ao longo da curva, ou seja
.
- O componente
de é . Substituindo , obtemos
- O componente
de é . Substituindo,
Logo
Passo 5
Calcular o produto escalar
.
Simplificando os termos:
Portanto a integral de linha vira a integral em
de
de
a
.
Passo 6
Calcular a integral:
Integramos termo a termo:
Subtraindo os resultados:
Passo 7
Interpretação breve (ânimo!): o valor da integral é negativo, o que significa que, ao longo da curva com a orientação dada, o campo faz trabalho líquido negativo sobre uma partícula que se desloca do ponto inicial ao final. É só uma interpretação física rápida; o cálculo já está feito.