Se \vec{F}=3 x_{1} x_{2} \hat{e}_{1}-x_{2}^{2} \hat{e}_{2} calcule \int_{c} \vec{F} . d \vec{r} onde C é a urva no plano x_{1} x_{2}, x_{2}=2 x_{1}^{2} de (0,0) até - ponto (1,2).

Passo 1

O enunciado fornece:
  • O campo vetorial \vec{F} = 3 x_{1} x_{2}\,\hat{e}_{1} - x_{2}^{2}\,\hat{e}_{2}.
  • A curva C no plano x_{1}x_{2} dada por \,x_{2}=2 x_{1}^{2}\, que vai do ponto (0,0) até o ponto (1,2).
O que é pedido:
  • Calcular a integral de linha \displaystyle \int_{C} \vec{F}\cdot d\vec{r} ao longo de C com orientação de (0,0) para (1,2).

Passo 2

Fórmula e ideia para resolver (passo-a-passo do que vamos usar).
  • Se a curva C for parametrizada por \vec{r}(t), t\in[a,b], então a integral de linha de um campo vetorial \vec{F} é
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{a}^{b}\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot \vec{r}\,'(t)\,dt.
Explicando os símbolos:
  • \vec{r}(t) é a parametrização da curva: dá as coordenadas (x_{1}(t),x_{2}(t)) em função de t.
  • \vec{r}\,'(t)=\dfrac{d\vec{r}}{dt} é o vetor tangente (derivada) — é o que substitui d\vec{r}.
  • \vec{F}(\vec{r}(t)) é o campo avaliado ao longo da curva.
  • O produto escalar \vec{F}(\vec{r}(t))\cdot \vec{r}\,'(t) é uma função de t que integramos em t de a até b.
Motivação curta: aqui o campo não é necessariamente conservativo, então a forma direta via parametrização é a mais segura.

Passo 3

Escolher uma parametrização consistente com x_{2}=2x_{1}^{2} e com os pontos inicial/final.
  • Tomamos x_{1}=t. Então x_{2}=2t^{2}.
  • Para ir de (0,0) até (1,2) devemos ter t variando de 0 até 1.
Portanto a parametrização é
\vec{r}(t)=\bigl(t,\;2t^{2}\bigr),\qquad 0\le t\le 1.
A derivada é
\vec{r}\,'(t)=\bigl(1,\;4t\bigr).

Passo 4

Avaliar o campo \vec{F} ao longo da curva, ou seja \vec{F}(\vec{r}(t)).
  • O componente 1 de \vec{F} é P(x_{1},x_{2})=3x_{1}x_{2}. Substituindo x_{1}=t, x_{2}=2t^{2} obtemos
P(t)=3\cdot t\cdot(2t^{2})=6t^{3}.
  • O componente 2 de \vec{F} é Q(x_{1},x_{2})=-x_{2}^{2}. Substituindo,
Q(t)=-\bigl(2t^{2}\bigr)^{2}=-4t^{4}.
Logo
\vec{F}(\vec{r}(t))=\bigl(6t^{3},\;-4t^{4}\bigr).

Passo 5

Calcular o produto escalar \vec{F}(\vec{r}(t))\cdot \vec{r}\,'(t).
\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot \vec{r}\,'(t)=\bigl(6t^{3},\;-4t^{4}\bigr)\cdot\bigl(1,\,4t\bigr) =6t^{3}\cdot 1 + (-4t^{4})\cdot(4t).
Simplificando os termos:
6t^{3} + (-4t^{4})\cdot(4t)=6t^{3}-16t^{5}.
Portanto a integral de linha vira a integral em t de 6t^{3}-16t^{5} de 0 a 1.

Passo 6

Calcular a integral:
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{0}^{1}\bigl(6t^{3}-16t^{5}\bigr)\,dt.
Integramos termo a termo:
\int_{0}^{1}6t^{3}\,dt = 6\cdot\frac{t^{4}}{4}\Big|_{0}^{1}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2},
\int_{0}^{1}16t^{5}\,dt = 16\cdot\frac{t^{6}}{6}\Big|_{0}^{1}=\frac{16}{6}=\frac{8}{3}.
Subtraindo os resultados:
\frac{3}{2}-\frac{8}{3}=\frac{9-16}{6}=-\frac{7}{6}.

Passo 7

Interpretação breve (ânimo!): o valor da integral é negativo, o que significa que, ao longo da curva com a orientação dada, o campo faz trabalho líquido negativo sobre uma partícula que se desloca do ponto inicial ao final. É só uma interpretação física rápida; o cálculo já está feito.

Resposta

-\dfrac{7}{6}

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