. Considere uma partícula de massa m que se move num campo de força central dado por
\vec{F}=-k r \hat{r}, \quad k>0
a) Assumindo que a partícula se move com velocidade constante numa órbita circular de raio R, calcule a velocidade angular da partícula e mostre que sua energia é E=k R^{2}.
b) Para o caso de movimento mais geral (não necessariamente circular), escreva a expressão da energia para a partícula e via o método da energia determine diretamente a equação para r(t).

Passo 1

O enunciado dá uma partícula de massa \,m\, sujeita a uma força central radial
\vec{F}=-k r\,\hat{r},\qquad k>0.
O problema pede duas coisas distintas:
a) Para uma órbita circular de raio \,R\, e velocidade constante, calcular a velocidade angular da partícula e mostrar que a energia total é \,E=kR^{2}.
b) No caso de movimento geral (não necessariamente circular), escrever a expressão da energia da partícula e, usando o método da energia, obter diretamente a equação para \,r(t).
Dados importantes fornecidos: \,m (massa), força radial \,-k r\,\hat r, constante positiva \,k, e no item (a) a suposição de órbita circular de raio \,R.

Passo 2

Entender movimento circular e força centrípeta: numa órbita circular de raio \,R a partícula descreve um movimento com velocidade tangencial \,v constante, e a aceleração centrípeta tem magnitude \,a_{\text{centr}}=v^{2}/R dirigida para o centro. Para manter essa aceleração a força radial resultante (neste caso a força dada) deve fornecer exatamente a componente centrípeta.
A magnitude da força dada é \,|\vec F|=kR (peguei isso do enunciado onde \vec F=-k r\,\hat r, substituindo r=R). A condição de equilíbrio centrípeto é
\frac{m v^{2}}{R}=kR.
Expliquei: \,m v^{2}/R é a força necessária para manter a partícula na curva circular; \,kR é a força que o campo fornece.

Passo 3

Resolver a equação da condição centrípeta para \,v e \,\omega.
Da igualdade
\frac{m v^{2}}{R}=kR
temos
v^{2}=\frac{kR^{2}}{m}.
A velocidade angular \,\omega relaciona-se com \,v por \,v=\omega R. Então
\omega=\frac{v}{R}=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{kR^{2}}{m}}=\sqrt{\frac{k}{m}}.
Observação importante (útil na prova): a velocidade angular \omega não depende do raio \,R — é determinada apenas por \,k e \,m.

Passo 4

Calcular a energia para a órbita circular. Primeiro identifique a energia potencial associada à força central.
A força é conservativa (depende apenas de r e é radial), pois pode ser escrita como \vec F=-\nabla U(r). Para achar U(r) usamos
F_{r}=-\frac{dU}{dr}=-k r.
Integrando em r,
\frac{dU}{dr}=k r\quad\Rightarrow\quad U(r)=\frac{1}{2}k r^{2}+C.
Podemos escolher a constante C=0 (escolha de referência de energia). Então a energia potencial é \,U(r)=\tfrac{1}{2}k r^{2}.
Agora a energia cinética para o movimento circular de raio R e velocidade tangencial v é
T=\frac{1}{2}m v^{2}=\frac{1}{2}m\left(\frac{kR^{2}}{m}\right)=\frac{1}{2}kR^{2}.
Somando, a energia total na órbita circular é
E=T+U=\frac{1}{2}kR^{2}+\frac{1}{2}kR^{2}=kR^{2},
que é exatamente o que se queria mostrar.

Passo 5

Passando ao caso geral (movimento não necessariamente circular). Primeiro escrevemos a energia cinética em coordenadas polares (r,\theta). A velocidade vetorial tem duas componentes: radial \dot r e tangencial r\dot\theta. Então
T=\frac{1}{2}m\big(\dot r^{2}+r^{2}\dot\theta^{2}\big).
Expliquei: \dot r é a velocidade de afastamento/aproximação radial e r\dot\theta é a velocidade tangencial (comprimento de arco por unidade de tempo).
A energia potencial continua sendo \,U(r)=\tfrac{1}{2}k r^{2} (mesma integração do Passo 4).
Logo a energia total é
E=\frac{1}{2}m\big(\dot r^{2}+r^{2}\dot\theta^{2}\big)+\frac{1}{2}k r^{2}.

Passo 6

Conservação do momento angular e sua utilidade: para uma força puramente radial o torque em relação à origem é nulo, portanto o momento angular é conservado. Definimos o momento angular (escalares em módulo) por
L=m r^{2}\dot\theta,
onde \,L é constante ao longo do movimento. Expliquei: m r^{2}\dot\theta é a quantidade de movimento angular normalizada; a conservação permite eliminar \dot\theta em favor de L.
Isolando \dot\theta,
\dot\theta=\frac{L}{m r^{2}}.
Substitua isso na energia para expressá-la apenas em termos de r e \dot r:
E=\frac{1}{2}m\dot r^{2}+\frac{1}{2}m r^{2}\left(\frac{L}{m r^{2}}\right)^{2}+\frac{1}{2}k r^{2}.
Simplificando o termo angular:
\frac{1}{2}m r^{2}\left(\frac{L^{2}}{m^{2} r^{4}}\right)=\frac{L^{2}}{2 m r^{2}}.

Passo 7

Definir potencial efetivo e obter a equação para \,r(t) via energia. Reescrevendo:
E=\frac{1}{2}m\dot r^{2}+\underbrace{\left(\frac{L^{2}}{2 m r^{2}}+\frac{1}{2}k r^{2}\right)}_{U_{\text{ef}}(r)}.
Expliquei: U_{\text{ef}}(r) é o potencial efetivo — soma da contribuição centrífuga \,L^{2}/(2 m r^{2}) (que impede r de ir a zero facilmente) e do potencial radial real \,\tfrac{1}{2}k r^{2}.
Isolando o termo cinético radial:
\frac{1}{2}m\dot r^{2}=E-U_{\text{ef}}(r).
Multiplicando e isolando \dot r,
\dot r^{2}=\frac{2}{m}\bigg(E-\frac{L^{2}}{2 m r^{2}}-\frac{1}{2}k r^{2}\bigg).
Portanto
\dot r=\pm\sqrt{\frac{2}{m}\left(E-\frac{L^{2}}{2 m r^{2}}-\frac{1}{2}k r^{2}\right)}.
Expliquei: esta é uma equação de primeira ordem separável para r(t). Ela nos dá a velocidade radial em função de r; para obter r(t) basta separar e integrar.

Passo 8

Escrever a forma integral que fornece t em função de r (solução implícita). Separe as variáveis:
dt=\pm\frac{dr}{\sqrt{\dfrac{2}{m}\Big(E-\dfrac{L^{2}}{2 m r^{2}}-\dfrac{1}{2}k r^{2}\Big)}}.
Integrando,
t-t_{0}=\pm\int_{r_{0}}^{r}\frac{dr'}{\sqrt{\dfrac{2}{m}\Big(E-\dfrac{L^{2}}{2 m r'^{2}}-\dfrac{1}{2}k r'^{2}\Big)}}.
Expliquei: essa integral em geral não tem primitiva elementar simples — normalmente resulta em integrais elípticas — mas é a expressão direta que a técnica da energia fornece para r(t). Em problemas de prova é suficiente chegar nessa forma e, em casos especiais (por exemplo movimentos oscilatórios pequenos ou curvas específicas), avaliar a integral ou aproximá-la.

Passo 9

Comentário útil para a prova (usar como lembrete): a condição de órbita circular de raio R aparece como ponto de equilíbrio do potencial efetivo: para uma órbita circular \dot r=0 e também \ddot r=0, o que implica que E=U_{\text{ef}}(R) e U'_{\text{ef}}(R)=0. A condição U'_{\text{ef}}(R)=0
-\frac{L^{2}}{m r^{3}}+k r\Big|_{r=R}=0\quad\Rightarrow\quad \frac{L^{2}}{m R^{3}}=kR,
que é consistente com L=mR^{2}\omega e \omega=\sqrt{k/m} que obtivemos no item (a).

Resposta

(a) \displaystyle \omega=\sqrt{\frac{k}{m}},\quad E=kR^{2}.
(b) \displaystyle E=\frac{1}{2}m\dot r^{2}+\frac{L^{2}}{2 m r^{2}}+\frac{1}{2}k r^{2}, \displaystyle \dot r=\pm\sqrt{\frac{2}{m}\Big(E-\frac{L^{2}}{2 m r^{2}}-\frac{1}{2}k r^{2}\Big)} e \displaystyle t-t_{0}=\pm\int_{r_{0}}^{r}\frac{dr'}{\sqrt{\dfrac{2}{m}\Big(E-\dfrac{L^{2}}{2 m r'^{2}}-\dfrac{1}{2}k r'^{2}\Big)}}.

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