Considere o campo \vec{E}(x, y)=x \hat{i}+y \hat{j}. Considere algumas coordenadas (x, y) e construa um esboço desse campo (Explique como você fez isso). Discuta qualitativamente se o campo é rotacional ou divergente.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial \vec{E}(x,y)=x\,\hat{i}+y\,\hat{j} e pede duas coisas: (1) construir um esboço desse campo explicando como fizemos o esboço e (2) discutir qualitativamente se o campo é rotacional (tem curl) ou divergente (tem divergence). Informação dada: expressão analítica de \vec{E} em todo o plano (x,y). Nada mais é pedido numericamente — queremos apenas desenho e discussão qualitativa/analítica.

Passo 2

Como montar um esboço do campo passo a passo (estratégia prática para fazer na prova):
  1. Escolha uma malha de pontos simples, por exemplo pontos com coordenadas inteiras (x,y)\in\{-2,-1,0,1,2\}\times\{-2,-1,0,1,2\}.
  2. Em cada ponto (x,y) calcule o vetor \vec{E}(x,y)=x\,\hat{i}+y\,\hat{j}. Isso significa: a componente horizontal é x e a componente vertical é y.
  3. Desenhe em cada ponto uma seta com cauda na posição (x,y) e ponta em (x+x,y+y)=(2x,2y) se você desenha a seta com comprimento igual às componentes; mais corretamente, desenhe uma seta com direção dada por (x,y) e comprimento proporcional a \sqrt{x^2+y^2}. Na prática de prova: basta indicar a direção e um comprimento relativo (setas maiores quanto maior \sqrt{x^2+y^2}).
    Exemplos rápidos (peguei os valores diretamente calculando \vec{E} em cada ponto):
    \vec{E}(0,0)=(0,0) — nenhum vetor (ponto crítico).
    \vec{E}(1,0)=(1,0) — seta unitária para a direita em (1,0).
    \vec{E}(0,1)=(0,1) — seta unitária para cima em (0,1).
    \vec{E}(1,1)=(1,1) — seta diagonal nordeste em (1,1) com magnitude \sqrt{2}.
    \vec{E}(-1,0)=(-1,0), \vec{E}(0,-1)=(0,-1), \vec{E}(-1,-1)=(-1,-1), etc.

Passo 3

Interpretação polar (ajuda muito a esboçar): escreva x=r\cos\theta e y=r\sin\theta. Então
\vec{E}(x,y)=x\,\hat{i}+y\,\hat{j}=r\cos\theta\,\hat{i}+r\sin\theta\,\hat{j}=r\,\hat{r}.
Aqui \hat{r}=\cos\theta\,\hat{i}+\sin\theta\,\hat{j} é o versor radial. Conclusões práticas para o desenho:
  • A direção de \vec{E} em cada ponto é radial (aponta diretamente para fora do origem).
  • O módulo de \vec{E} é |\vec{E}|=\sqrt{x^2+y^2}=r. Ou seja, as setas crescem linearmente com a distância ao centro.
    Portanto, ao desenhar, faça setas apontando para fora do centro ao longo de raios, com tamanho proporcional à distância ao centro. As linhas de campo são retas que passam pela origem (raios).

Passo 4

Como mostrar que as linhas de campo são retas (forma matemática): uma linha de campo satisfaz \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{E_y}{E_x}=\dfrac{y}{x}. Isso é uma equação diferencial simples:
\frac{dy}{y}=\frac{dx}{x}\quad\Rightarrow\quad \ln|y|=\ln|x|+C \quad\Rightarrow\quad y=C'x,
ou seja, y=kx: retas passando pela origem. Isso confirma o esboço: linhas radiais.

Passo 5

Cálculo da divergência (explicação do conceito e cálculo): a divergência de um campo \vec{E}=(E_x,E_y) em 2D é
\nabla\cdot\vec{E}=\frac{\partial E_x}{\partial x}+\frac{\partial E_y}{\partial y}.
Para nosso campo E_x=x e E_y=y, então
\nabla\cdot\vec{E}=\frac{\partial}{\partial x}(x)+\frac{\partial}{\partial y}(y)=1+1=2.
Interpretação física/intuitiva: divergência positiva constante significa que em todo ponto há um “fonte” uniforme de campo — as linhas saem do ponto (campo divergente). Em termos de fluxo: o fluxo através de uma circunferência de raio r centrada na origem é positivo e cresce com r^2 (veja passo 6).

Passo 6

Demonstração com fluxo (verificação da divergência): calcule o fluxo pelo contorno da circunferência de raio r. No contorno, \vec{E}=r\hat{r} e a normal externo é \hat{r}, e o elemento de linha é ds=r\,d\theta. Então o fluxo é
\Phi=\oint \vec{E}\cdot\hat{n}\,ds=\int_{0}^{2\pi} r\cdot 1\cdot (r\,d\theta)=\int_{0}^{2\pi} r^2\,d\theta=2\pi r^2.
Pelo teorema da divergência em 2D isso deveria ser \iint (\nabla\cdot\vec{E})\,dA=2\cdot(\pi r^2)=2\pi r^2, consistente com \nabla\cdot\vec{E}=2. Isso reforça a interpretação de fonte uniforme.

Passo 7

Cálculo do rotacional (curl) em 2D e interpretação: o componente z do rotacional é
(\nabla\times\vec{E})_z=\frac{\partial E_y}{\partial x}-\frac{\partial E_x}{\partial y}.
Aqui \partial_x E_y=\partial_x y=0 e \partial_y E_x=\partial_y x=0. Então
(\nabla\times\vec{E})_z=0-0=0.
Conclusão: o campo é irrotacional (sem circulação local). Outra forma de ver isso: existe um potencial escalar \varphi tal que \vec{E}=\nabla\varphi. Tomando \varphi(x,y)=\tfrac{1}{2}(x^2+y^2) obtemos \nabla\varphi=(x,y)=\vec{E}. Isso também implica que integrais de linha dependem apenas dos pontos finais (campo conservativo).

Passo 8

Resumo qualitativo final (como você deve descrever na prova e desenhar rápido):
  • Direção: vetores radiais, apontando para fora da origem em todas as direções.
  • Módulo: cresce linearmente com a distância ao centro, |\vec{E}|=r.
  • Linhas de campo: retas que passam pela origem (y = kx).
  • Divergência: \nabla\cdot\vec{E}=2 (constante e positiva) → campo com fontes.
  • Rotacional: \nabla\times\vec{E}=0 → sem rotação local, é conservativo, com potencial \varphi=\tfrac{1}{2}(x^2+y^2).
    Dica prática para o esboço na prova: desenhe alguns raios e coloque 3 ou 4 setas em cada raio com comprimento proporcional à distância (seta pequena perto da origem, maior mais longe). Indique o ponto nulo em (0,0).

Resposta

O campo é divergente com \nabla\cdot\vec{E}=2.
O campo é irrotacional (não rotacional) com \nabla\times\vec{E}=0 e tem potencial \varphi(x,y)=\tfrac{1}{2}(x^2+y^2).

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