Considere o campo
. Considere algumas coordenadas
e construa um esboço desse campo (Explique como você fez isso). Discuta qualitativamente se o campo é rotacional ou divergente.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede duas coisas: (1) construir um esboço desse campo explicando como fizemos o esboço e (2) discutir qualitativamente se o campo é rotacional (tem curl) ou divergente (tem divergence). Informação dada: expressão analítica de
em todo o plano
. Nada mais é pedido numericamente — queremos apenas desenho e discussão qualitativa/analítica.
Passo 2
Como montar um esboço do campo passo a passo (estratégia prática para fazer na prova):
- Escolha uma malha de pontos simples, por exemplo pontos com coordenadas inteiras
. - Em cada ponto
calcule o vetor . Isso significa: a componente horizontal é e a componente vertical é . - Desenhe em cada ponto uma seta com cauda na posição
e ponta em se você desenha a seta com comprimento igual às componentes; mais corretamente, desenhe uma seta com direção dada por e comprimento proporcional a . Na prática de prova: basta indicar a direção e um comprimento relativo (setas maiores quanto maior ).
Exemplos rápidos (peguei os valores diretamente calculandoem cada ponto):
— nenhum vetor (ponto crítico).
— seta unitária para a direita em .
— seta unitária para cima em .
— seta diagonal nordeste em com magnitude .
, , , etc.
Passo 3
Interpretação polar (ajuda muito a esboçar): escreva
e
. Então
Aqui
é o versor radial. Conclusões práticas para o desenho:
- A direção de
em cada ponto é radial (aponta diretamente para fora do origem). - O módulo de
é . Ou seja, as setas crescem linearmente com a distância ao centro.
Portanto, ao desenhar, faça setas apontando para fora do centro ao longo de raios, com tamanho proporcional à distância ao centro. As linhas de campo são retas que passam pela origem (raios).
Passo 4
Como mostrar que as linhas de campo são retas (forma matemática): uma linha de campo satisfaz
. Isso é uma equação diferencial simples:
ou seja,
: retas passando pela origem. Isso confirma o esboço: linhas radiais.
Passo 5
Cálculo da divergência (explicação do conceito e cálculo): a divergência de um campo
em 2D é
Para nosso campo
e
, então
Interpretação física/intuitiva: divergência positiva constante significa que em todo ponto há um “fonte” uniforme de campo — as linhas saem do ponto (campo divergente). Em termos de fluxo: o fluxo através de uma circunferência de raio
centrada na origem é positivo e cresce com
(veja passo 6).
Passo 6
Demonstração com fluxo (verificação da divergência): calcule o fluxo pelo contorno da circunferência de raio
. No contorno,
e a normal externo é
, e o elemento de linha é
. Então o fluxo é
Pelo teorema da divergência em 2D isso deveria ser
, consistente com
. Isso reforça a interpretação de fonte uniforme.
Passo 7
Cálculo do rotacional (curl) em 2D e interpretação: o componente
do rotacional é
Aqui
e
. Então
Conclusão: o campo é irrotacional (sem circulação local). Outra forma de ver isso: existe um potencial escalar
tal que
. Tomando
obtemos
. Isso também implica que integrais de linha dependem apenas dos pontos finais (campo conservativo).
Passo 8
Resumo qualitativo final (como você deve descrever na prova e desenhar rápido):
- Direção: vetores radiais, apontando para fora da origem em todas as direções.
- Módulo: cresce linearmente com a distância ao centro,
. - Linhas de campo: retas que passam pela origem (y = kx).
- Divergência:
(constante e positiva) → campo com fontes. - Rotacional:
→ sem rotação local, é conservativo, com potencial .
Dica prática para o esboço na prova: desenhe alguns raios e coloque 3 ou 4 setas em cada raio com comprimento proporcional à distância (seta pequena perto da origem, maior mais longe). Indique o ponto nulo em.
Resposta
O campo é divergente com
.
O campo é irrotacional (não rotacional) com e tem potencial
.
O campo é irrotacional (não rotacional) com