. Considere uma partícula de massa m que se move na presença de um campo de força central dado por
\vec{F}=-\frac{c}{r^{3 / 2}} \hat{r}
onde c é uma constante positiva.
a). Encontre o potencial U(r) correspondente a essa força central.
b). Encontre e desenhe o potencial efetivo U_{\text {ef }}(r) correspondente ao movimento na direção radial.
c). Para que valores de energia existem órbitas limitadas ? e ilimitadas ?
d). A que raio r_{0} existe uma órbita circular e qual o período ?

Passo 1

O enunciado dá uma partícula de massa m sob uma força central radial
\vec{F} = -\frac{c}{r^{3/2}} \,\hat{r},
com c>0. As perguntas são:
a) Encontrar o potencial U(r) correspondente a essa força.
b) Encontrar e desenhar o potencial efetivo U_{\text{ef}}(r) que aparece na equação radial quando há momento angular.
c) Determinar para que valores de energia existem órbitas limitadas e para que valores existem órbitas ilimitadas.
d) Encontrar o raio r_0 onde existe uma órbita circular e calcular o período dessa órbita.
Informações relevantes dadas: a forma explícita da força radial (módulo e dependência em r) e a constante positiva c. Não há figura adicional. Vou assumir momento angular L constante (não nulo, salvo comentário especial) para tratar do potencial efetivo.

Passo 2

Conceito básico para a parte (a): para uma força central radial F_r(r) (sendo F_r a componente radial positiva para fora), o potencial escalar U(r) satisfaz
F_r(r) = -\frac{dU}{dr}.
Aqui a força vetorial é \vec{F} = F_r \,\hat r com F_r = -\dfrac{c}{r^{3/2}} (é já negativa, dirigida para dentro). Isso significa que a equação para U é
-\frac{dU}{dr} = -\frac{c}{r^{3/2}} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dU}{dr} = \frac{c}{r^{3/2}}.
Vou integrar essa expressão para obter U(r), explicando cada passo da integração.

Passo 3

Integração para achar U(r). Integro dU/dr = c\, r^{-3/2}:
U(r) = \int c\, r^{-3/2}\,dr = c\int r^{-3/2}\,dr.
Recordando uma regra básica de integração: \displaystyle\int r^{\alpha}\,dr = \frac{r^{\alpha+1}}{\alpha+1} para \alpha\neq -1. Aqui \alpha=-\tfrac{3}{2}, então
\int r^{-3/2}\,dr = \frac{r^{-1/2}}{-1/2} = -2\,r^{-1/2}.
Multiplicando por c obtemos
U(r) = -2c\,r^{-1/2} + C,
onde C é constante arbitrária de referência do potencial. Uma escolha natural é fixar U(\infty)=0; como r^{-1/2}\to0 quando r\to\infty, escolhemos C=0. Assim
U(r) = -\frac{2c}{\sqrt{r}}.
Vou explicar o sentido físico dessa forma: o potencial é negativo (atraente) e é singular quando r\to0 (vai para -\infty) e tende a zero quando r\to\infty.

Passo 4

Conceito básico para a parte (b): com momento angular L conservado, a energia total da partícula em coordenadas polares se separa em uma parte radial com potencial efetivo. A energia cinética total é
T = \frac{1}{2}m\dot r^{2} + \frac{1}{2}m r^{2} \dot\theta^{2},
e o momento angular é L = m r^{2}\dot\theta (constante). Substituindo \dot\theta = L/(m r^{2}) a energia pode ser escrita como
E = \frac{1}{2}m\dot r^{2} + \underbrace{\frac{L^{2}}{2 m r^{2}} + U(r)}_{U_{\text{ef}}(r)}.
O termo \dfrac{L^{2}}{2 m r^{2}} é chamado de termo centrífugo (ou de energia cinética rotacional) e age como um potencial efetivo repulsivo perto de r=0. Assim o potencial efetivo é a soma do centrífugo com U(r).

Passo 5

Escrever explicitamente o potencial efetivo U_{\text{ef}}(r) substituindo U(r) obtido:
U_{\text{ef}}(r) = \frac{L^{2}}{2 m r^{2}} - \frac{2c}{r^{1/2}}.
Agora vou analisar o comportamento desse U_{\text{ef}}(r) para desenhar qualitativamente: quando r\to0^{+} o primeiro termo domina e diverge para +\infty (comportamento \sim r^{-2}), enquanto o segundo termo diverge para -\infty como -2c r^{-1/2} — mas o termo centrífugo r^{-2} diverge mais fortemente, então o somatório vai para +\infty quando r\to0. Quando r\to\infty, ambos tendem a zero, e U_{\text{ef}}(r)\to0^{-} (aproxima-se de zero pela esquerda, porque o termo -2c r^{-1/2} domina a pequenas magnitudes). Logo o gráfico é: vai a +\infty em r\to0, desce e apresenta um mínimo estável em algum r=r_0, depois sobe e tende a 0 por baixo quando r\to\infty. Esse mínimo corresponde a órbita circular estável.

Passo 6

Encontrar o ponto crítico r_0 (parte d) — condição de órbita circular:
Para uma órbita circular de raio r_0 é necessário que a força resultante radial seja nula, ou equivalentemente que U_{\text{ef}}'(r_0)=0. Calculo a derivada:
\frac{d}{dr}\left(\frac{L^{2}}{2 m r^{2}}\right) = -\frac{L^{2}}{m r^{3}}, \qquad \frac{d}{dr}\left(-\frac{2c}{r^{1/2}}\right) = -2c\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right) r^{-3/2} = c\,r^{-3/2}.
Somando,
U_{\text{ef}}'(r) = -\frac{L^{2}}{m r^{3}} + c\,r^{-3/2}.
Igualando a zero em r=r_0:
-\frac{L^{2}}{m r_0^{3}} + c\,r_0^{-3/2} = 0
\Longrightarrow\quad c\,r_0^{-3/2} = \frac{L^{2}}{m r_0^{3}}.
Multiplicando ambos os lados por r_0^{3} obtemos
c\,r_0^{3/2} = \frac{L^{2}}{m}
e portanto
r_0^{3/2} = \frac{L^{2}}{m c} \quad\Longrightarrow\quad r_0 = \left(\frac{L^{2}}{m c}\right)^{2/3}.
Essa é a expressão do raio da órbita circular em termos de L, m e c.

Passo 7

Verificar estabilidade (mínimo) da órbita circular: calculo a segunda derivada
U_{\text{ef}}''(r) = \frac{3L^{2}}{m r^{4}} - \frac{3}{2}c\,r^{-5/2}.
Avalio em r_0. Uso a relação já encontrada c = \dfrac{L^{2}}{m r_0^{3/2}} para simplificar:
\frac{3L^{2}}{m r_0^{4}} = 3\left(\frac{L^{2}}{m r_0^{3/2}}\right) r_0^{-5/2} = 3c\,r_0^{-5/2}.
Então
U_{\text{ef}}''(r_0) = 3c\,r_0^{-5/2} - \frac{3}{2}c\,r_0^{-5/2} = \frac{3}{2}c\,r_0^{-5/2} > 0.
Como a segunda derivada é positiva, o ponto é um mínimo e a órbita circular é estável (pequenas perturbações radiais resultam em oscilações ao redor de r_0).

Passo 8

Encontrar o período da órbita circular (parte d). Para uma órbita circular a velocidade angular constante \omega satisfaz a relação centrípeta:
m r_0 \omega^{2} = \text{força radial (módulo)} = \frac{c}{r_0^{3/2}}.çó
Assim
\omega^{2} = \frac{c}{m r_0^{5/2}}.
O período é T = \dfrac{2\pi}{\omega}, então
T = 2\pi\sqrt{\frac{m r_0^{5/2}}{c}}.
Uma forma alternativa, usando L = m r_0^{2}\omega, é
T = \frac{2\pi m r_0^{2}}{L}.
Substituindo r_0=\left(\dfrac{L^{2}}{m c}\right)^{2/3} numa forma fechada em termos de L,m,c dá também
T = 2\pi\,\frac{L^{5/3}}{m^{1/3} c^{4/3}}.
Qualquer uma das formas acima é equivalente; escolhi apresentar duas maneiras para você ver as conexões (uma direta pela aceleração centrípeta e outra usando L).

Passo 9

Analisar energias e órbitas limitadas vs ilimitadas (parte c). Primeiro, defino o valor mínimo do potencial efetivo U_{\text{ef}}(r_0)=U_{\min}. Calculamos U_{\min} substituindo r_0 em U_{\text{ef}}(r). É mais prático usar a notação A=\dfrac{L^{2}}{m c} e r_0=A^{2/3}. Então
r_0^{-1/2} = A^{-1/3},\qquad r_0^{-2}=A^{-4/3}.
Compute U_{\min}:
U_{\min} = \frac{L^{2}}{2m}r_0^{-2} - 2c r_0^{-1/2} = \frac{L^{2}}{2m}A^{-4/3} - 2c A^{-1/3}.
Substituindo A=L^{2}/(m c) e simplificando (faça passo a passo na prova: substituir e agrupar potências) obtemos o resultado fechado
U_{\min} = -\frac{3}{2}\, m^{1/3} c^{4/3} L^{-2/3}.
Observações físicas sobre as energias:
  • Como U_{\text{ef}}(r)\to 0^{-} quando r\to\infty, se a energia total E\ge 0 a partícula pode alcançar r\to\infty (energia suficiente para escapar): órbita ilimitada (ou de escape).
  • Se U_{\min}<E<0 então a partícula fica confinada entre duas raízes de E=U_{\text{ef}}(r) (dois raios de virada r_{\text{min}} e r_{\text{max}}), portanto a órbita radial é limitada (oscilações radiais entre essas duas fronteiras).
  • Se E=U_{\min} a órbita é a circular estável em r_0.
  • Se E<U_{\min} não há movimento permitido (energia menor que o mínimo do potencial efetivo).
    Observação especial: quando L=0 o termo centrífugo desaparece e U_{\text{ef}}(r)=U(r)=-2c r^{-1/2} é monótono: para E<0 a partícula está confinada por cima em r<(2c/|E|)^{2} mas pode colidir com r=0 (o potencial diverge para -\infty); então a dinâmica é diferente do caso L\neq0.

Resposta

a) U(r)=-\dfrac{2c}{\sqrt{r}} (escolhendo U(\infty)=0).
b) \displaystyle U_{\text{ef}}(r)=\frac{L^{2}}{2 m r^{2}}-\frac{2c}{r^{1/2}}. (Gráfico qualitativo: U_{\text{ef}}\to+\infty em r\to0^{+}, tem um mínimo em r_0, e tende a 0^{-} quando r\to\infty.)
c) Para L\neq0: órbitas limitadas quando U_{\min}<E<0, onde \displaystyle U_{\min}=-\frac{3}{2}\,m^{1/3}c^{4/3}L^{-2/3}; órbitas ilimitadas (escape) quando E\ge0. (Se E=U_{\min} tem órbita circular; caso especial L=0 o comportamento é diferente e pode haver queda ao centro.)
d) Raio da órbita circular \displaystyle r_{0}=\left(\frac{L^{2}}{m c}\right)^{2/3}. Período da órbita circular \displaystyle T=2\pi\sqrt{\frac{m r_{0}^{5/2}}{c}}=\frac{2\pi m r_{0}^{2}}{L}=\;2\pi\,\frac{L^{5/3}}{m^{1/3}c^{4/3}}.

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