Uma partícula no plano x y é atraida para a origem por uma força F=k / y, inversamente proporcional à sua distância do eixo x.
Calcule o trabalho realizado pela força quando a partícula se desloca do ponto x=0, y=a para o ponto x=2 a, y=0, ao longo do caminho que segue os lados de um retângulo e que consiste num segmento paralelo ao eixo dos x de x=0, y=a até x=2 a, y=a e num segmento vertical a partir do último ponto até o eixo dos x.

Passo 1

O enunciado pede o trabalho realizado pela força quando a partícula vai de (0,a) até (2a,0) seguindo primeiro um segmento horizontal até (2a,a) e depois um segmento vertical até o eixo x. Informações dadas e o que precisamos usar:
  • Ponto inicial: (0,a).
  • Ponto intermediário: (2a,a).
  • Ponto final: (2a,0).
  • Força com módulo k/y e direção “atraída para a origem” (ou seja, em cada ponto o vetor força aponta do ponto em direção ao (0,0) e tem magnitude k/y).
  • O caminho é o retângulo formado pelos dois segmentos: primeiro horizontal de x=0 a x=2a com y=a constante, depois vertical de y=a até y=0 com x=2a constante.
  • Objetivo: calcular o trabalho total W realizado pela força ao longo desse caminho.

Passo 2

Lembrete útil (passo-a-passo do conceito): o trabalho realizado por uma força ao longo de uma curva C é a integral de linha
W=\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r},
onde \mathbf{F}(x,y) é o campo de força e d\mathbf{r} é o vetor deslocamento infinitesimal ao longo do caminho. Vamos escrever o vetor força em componentes e calcular a integral separando nos dois trechos (horizontal e vertical). Nada de pânico — vamos montar tudo direitinho.

Passo 3

Construindo o vetor força. Em um ponto (x,y) a direção “para a origem” é dada pelo vetor unitário
-\frac{(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}}.
Como o módulo da força é k/y, o vetor força é
\mathbf{F}(x,y)=-\frac{k}{y}\,\frac{(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}}.
Escrevendo componentes, obtemos
F_x(x,y)=-\frac{k\,x}{y\sqrt{x^2+y^2}},\qquad F_y(x,y)=-\frac{k\,y}{y\sqrt{x^2+y^2}}=-\frac{k}{\sqrt{x^2+y^2}}.
Observação: no componente y o y do denominador cancela com o y no numerador, por isso F_y ficou mais simples.

Passo 4

Agora o primeiro trecho: segmento horizontal de (0,a) até (2a,a).
  • Parametrização natural: x=t, y=a, com t variando de 0 a 2a.
  • Então d\mathbf{r}=(dt,0).
  • Produto escalar \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=F_x(x,a)\,dt.
    Substituindo y=a em F_x,
F_x(t,a)=-\frac{k\,t}{a\sqrt{t^2+a^2}}.
O trabalho no primeiro trecho é
I_1=\int_{0}^{2a} -\frac{k\,t}{a\sqrt{t^2+a^2}}\,dt.
Vamos calcular essa integral. Faça a substituição u=t^2+a^2, então du=2t\,dt e quando t=0 temos u=a^2, quando t=2a temos u=5a^2. Assim
I_1=-\frac{k}{a}\int_{0}^{2a}\frac{t}{\sqrt{t^2+a^2}}\,dt =-\frac{k}{a}\cdot\frac{1}{2}\int_{a^2}^{5a^2}u^{-1/2}\,du.
A integral de u^{-1/2} é 2u^{1/2}, então
I_1=-\frac{k}{2a}\cdot\big[2u^{1/2}\big]_{a^2}^{5a^2} =-\frac{k}{a}\big(\sqrt{5a^2}-\sqrt{a^2}\big).
Como \sqrt{a^2}=a e \sqrt{5a^2}=a\sqrt{5}, obtemos
I_1=-k\big(\sqrt{5}-1\big).

Passo 5

Agora o segundo trecho: segmento vertical de (2a,a) até (2a,0).
  • Parametrização natural: x=2a (constante), y=t com t variando de a até 0 (descendo).
  • Então d\mathbf{r}=(0,dt).
  • Produto escalar \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=F_y(2a,t)\,dt.
    Substituindo x=2a em F_y,
F_y(2a,t)=-\frac{k}{\sqrt{(2a)^2+t^2}}=-\frac{k}{\sqrt{4a^2+t^2}}.
O trabalho no segundo trecho é
I_2=\int_{t=a}^{t=0}-\frac{k}{\sqrt{4a^2+t^2}}\,dt.
É mais confortável inverter os limites para ter uma integral com limites crescentes:
I_2= k\int_{0}^{a}\frac{1}{\sqrt{4a^2+t^2}}\,dt.

Passo 6

Calcular \displaystyle \int \frac{dt}{\sqrt{t^2+b^2}}. Uma primitiva conhecida é
\int\frac{dt}{\sqrt{t^2+b^2}}=\ln\big(t+\sqrt{t^2+b^2}\big)+C.
Aqui b=2a. Aplicando isso em I_2,
I_2=k\Big[\ln\big(t+\sqrt{t^2+4a^2}\big)\Big]_{0}^{a} = k\Big(\ln\big(a+\sqrt{a^2+4a^2}\big)-\ln\big(0+\sqrt{0+4a^2}\big)\Big).
Simplificando as raízes:
\sqrt{a^2+4a^2}=\sqrt{5a^2}=a\sqrt{5},\qquad \sqrt{4a^2}=2a.
Portanto
I_2=k\big(\ln\big(a+a\sqrt{5}\big)-\ln(2a)\big) = k\big(\ln a+\ln(1+\sqrt{5})-\ln 2-\ln a\big).
Os \ln a cancelam e obtemos
I_2=k\ln\!\Big(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Big).

Passo 7

Somando os dois trechos para obter o trabalho total:
W=I_1+I_2 = -k\big(\sqrt{5}-1\big) + k\ln\!\Big(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Big).
Podemos deixar numa forma um pouco mais compacta:
W=k\Big(1-\sqrt{5}+\ln\!\Big(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Big)\Big).
Comentário final rápido e tranquilizador: apesar da força ter expressão k/y que parece singular quando y\to0, o trabalho ao atingir o eixo y=0 pelo caminho dado é finito — a integral no trecho vertical converge e deu o resultado acima.

Resposta

k\Big(1-\sqrt{5}+\ln\!\Big(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\Big)\Big)

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