Uma partícula no plano
é atraida para a origem por uma força
, inversamente proporcional à sua distância do eixo
.
Calcule o trabalho realizado pela força quando a partícula se desloca do ponto
para o ponto
, ao longo do caminho que segue os lados de um retângulo e que consiste num segmento paralelo ao eixo dos
de
até
e num segmento vertical a partir do último ponto até o eixo dos
.
Calcule o trabalho realizado pela força quando a partícula se desloca do ponto
Passo 1
O enunciado pede o trabalho realizado pela força quando a partícula vai de
até
seguindo primeiro um segmento horizontal até
e depois um segmento vertical até o eixo
. Informações dadas e o que precisamos usar:
- Ponto inicial:
. - Ponto intermediário:
. - Ponto final:
. - Força com módulo
e direção “atraída para a origem” (ou seja, em cada ponto o vetor força aponta do ponto em direção ao e tem magnitude ). - O caminho é o retângulo formado pelos dois segmentos: primeiro horizontal de
a com constante, depois vertical de até com constante. - Objetivo: calcular o trabalho total
realizado pela força ao longo desse caminho.
Passo 2
Lembrete útil (passo-a-passo do conceito): o trabalho realizado por uma força ao longo de uma curva
é a integral de linha
onde
é o campo de força e
é o vetor deslocamento infinitesimal ao longo do caminho. Vamos escrever o vetor força em componentes e calcular a integral separando nos dois trechos (horizontal e vertical). Nada de pânico — vamos montar tudo direitinho.
Passo 3
Construindo o vetor força. Em um ponto
a direção “para a origem” é dada pelo vetor unitário
Como o módulo da força é
, o vetor força é
Escrevendo componentes, obtemos
Observação: no componente
o
do denominador cancela com o
no numerador, por isso
ficou mais simples.
Passo 4
Agora o primeiro trecho: segmento horizontal de
até
.
- Parametrização natural:
, , com variando de a . - Então
. - Produto escalar
.
Substituindoem ,
O trabalho no primeiro trecho é
Vamos calcular essa integral. Faça a substituição
, então
e quando
temos
, quando
temos
. Assim
A integral de
é
, então
Como
e
, obtemos
Passo 5
Agora o segundo trecho: segmento vertical de
até
.
- Parametrização natural:
(constante), com variando de até (descendo). - Então
. - Produto escalar
.
Substituindoem ,
O trabalho no segundo trecho é
É mais confortável inverter os limites para ter uma integral com limites crescentes:
Passo 6
Calcular
. Uma primitiva conhecida é
Aqui
. Aplicando isso em
,
Simplificando as raízes:
Portanto
Os
cancelam e obtemos
Passo 7
Somando os dois trechos para obter o trabalho total:
Podemos deixar numa forma um pouco mais compacta:
Comentário final rápido e tranquilizador: apesar da força ter expressão
que parece singular quando
, o trabalho ao atingir o eixo
pelo caminho dado é finito — a integral no trecho vertical converge e deu o resultado acima.