Considere uma partícula de massa m movendo-se em duas dimensões sujeita à força \vec{F}=-k x \hat{x}+K \hat{y}, onde k e K são constantes positivas. (a) Obtenha a Lagrangiana e as equações de Lagrange, usando x e y como coordenada generalizadas. Resolva as equações e descreva o movimento. (b) Obtenha a Hamiltoniana e as equações de Hamilton. Resolva as equações e confirme o resultado da letra (a).

Passo 1

O enunciado trata de uma partícula de massa m em duas dimensões sujeita à força
\vec F = -k\,x\,\hat x + K\,\hat y,
com k>0 e K>0. Vamos usar coordenadas generalizadas x e y, encontrando primeiro a Lagrangiana L=T-U (parte (a)), obter as equações de Lagrange, resolver e descrever o movimento. Na parte (b) definiremos os momentos canônicos, construiremos a Hamiltoniana H, obteremos as equações de Hamilton, resolveremos e confirmaremos o resultado da parte (a).

Passo 2

Primeiro escrevemos a energia cinética
T = \tfrac12\,m\bigl(\dot x^2 + \dot y^2\bigr).
Para achar a energia potencial U usamos \vec F = -\nabla U. Assim,
F_x = -k\,x = -\frac{\partial U}{\partial x}\quad\Longrightarrow\quad U(x,y)\supset \tfrac12\,k\,x^2,
F_y = +K = -\frac{\partial U}{\partial y}\quad\Longrightarrow\quad U(x,y)\supset -K\,y.
Logo
U(x,y) = \tfrac12\,k\,x^2 \;-\; K\,y
e a Lagrangiana fica
L = T - U = \tfrac12\,m\bigl(\dot x^2 + \dot y^2\bigr)\;-\;\tfrac12\,k\,x^2 \;+\; K\,y.

Passo 3

Aplicando as equações de Lagrange
\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\Bigl(\frac{\partial L}{\partial\dot q}\Bigr) - \frac{\partial L}{\partial q} = 0
para q=x e q=y, obtemos
m\,\ddot x + k\,x = 0,
m\,\ddot y - K = 0.

Passo 4

Essas equações decoplam-se em:
– No eixo x temos um oscilador harmônico:
\ddot x + \frac{k}{m}\,x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x(t) = A\cos\!\bigl(\omega t + \varphi\bigr), \quad \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}.
– No eixo y temos aceleração constante a_y = K/m:
\ddot y = \frac{K}{m} \quad\Longrightarrow\quad y(t) = y_0 + v_{y0}\,t + \frac{K}{2m}\,t^2.
Portanto o movimento é a superposição de um movimento harmônico em x e um movimento uniformemente acelerado em y.

Passo 5

Agora passamos ao formalismo Hamiltoniano. Definimos os momentos canônicos
p_x = \frac{\partial L}{\partial \dot x} = m\,\dot x, \quad p_y = m\,\dot y.
A Hamiltoniana é
H = p_x\,\dot x + p_y\,\dot y - L = \frac{p_x^2}{2m} + \frac{p_y^2}{2m} \;+\;\frac12\,k\,x^2 \;-\; K\,y.

Passo 6

As equações de Hamilton
\dot q_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \quad \dot p_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}
dão, para i=x,y,
\dot x = \frac{p_x}{m}, \quad \dot p_x = -k\,x,
\dot y = \frac{p_y}{m}, \quad \dot p_y = +K.
Da primeira linha recuperamos
\ddot x + (k/m)x = 0, e da segunda
\ddot y = K/m. Integrando, obtemos exatamente
x(t) = A\cos\bigl(\omega t+\varphi\bigr), \qquad y(t) = y_0 + v_{y0}\,t + \frac{K}{2m}\,t^2,
confirmando o resultado da parte (a).

Resposta

(a) Lagrangiana
L = \tfrac12\,m(\dot x^2 + \dot y^2) - \tfrac12\,k\,x^2 + K\,y
Equações de Lagrange
m\ddot x + kx = 0, \quad m\ddot y - K = 0
Soluções
x(t) = A\cos\!\Bigl(\sqrt{\tfrac{k}{m}}\,t + \varphi\Bigr), \quad y(t) = y_0 + v_{y0}\,t + \frac{K}{2m}\,t^2.
(b) Hamiltoniana
H = \frac{p_x^2}{2m} + \frac{p_y^2}{2m} + \tfrac12\,k\,x^2 - K\,y
Equações de Hamilton
\dot x = \frac{p_x}{m},\;\dot p_x = -k\,x; \quad \dot y = \frac{p_y}{m},\;\dot p_y = K
Soluções idênticas às da parte (a), confirmando o movimento harmônico em x e uniformemente acelerado em y.

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