Problema 2:

Um pêndulo de 1,5 \mathrm{~m} de comprimento é solto de uma altura tal que o fio forma um ângulo de 60^{\circ} com a vertical.
a) Calcule a velocidade do pêndulo ao passar pela posição mais baixa.
b) Verifique se a energia mecânica se conserva durante o movimento.

Passo 1

O enunciado trata de um pêndulo de comprimento 1,5 m solto de uma posição em que o fio forma um ângulo de 60^\circ com a vertical. Pede-se (a) a velocidade ao passar pela posição mais baixa e (b) verificar a conservação da energia mecânica. Para isso vamos usar o princípio da conservação de energia mecânica, considerando energia potencial gravitacional e cinética.

Passo 2

Calculamos a variação de altura \displaystyle h entre a posição inicial e a mais baixa. Se o comprimento do fio é L=1,5 m e o ângulo inicial é \theta=60^\circ, então
h = L\bigl(1 - \cos\theta\bigr)
Como \cos60^\circ = \tfrac12, temos
h = 1,5\bigl(1 - \tfrac12\bigr) = 1,5 \times 0,5 = 0,75\text{ m}.

Passo 3

Pela conservação de energia mecânica (sem atrito nem resistência do ar):
m g h = \tfrac12\,m v^2.
Cancelando a massa m e isolando v,
v = \sqrt{2 g h} = \sqrt{2 \times 9,8 \times 0,75} = \sqrt{14,7} \approx 3,84\text{ m/s}.

Passo 4

Para verificar a conservação da energia mecânica, comparamos:
E_\text{i} = m g h \quad\text{e}\quad E_\text{f} = \tfrac12\,m v^2.
Substituindo v^2 = 2gh em E_\text{f} E_\text{f}=mgh, igual a E_\text{i}. Logo não há perda de energia mecânica ao longo do movimento (na teoria ideal).

Resposta

a) \displaystyle v \approx 3,84\text{ m/s}.
b) Sim, a energia mecânica se conserva, pois toda a energia potencial inicial se converte em energia cinética na posição mais baixa.

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