Considere uma partícula de massa m que pode se mover livremente sobre o eixo x entre os pontos x= pm a / 2, mas está estritamente proibida de ser encontrada fora desta região. A função de onda da partícula é:
Psi(x, t)=A cos (pi xa) e^-i E t / hbar & -a / 2= a / 2
d) Verifique se De= hbar2;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula que pode se mover livremente ao longo do eixo $ x $ entre os pontos $ -\frac{a}{2} $ e $ \frac{a}{2} x ããçãíééçã \Delta x -a2 \Delta p $) é maior ou igual a $ \frac{\hbar}{2} $, que é a famosa relação da incerteza de Heisenberg. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções de onda, operadores de posição e momento, e como calcular as incertezas.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a constante de normalização $ A $ da função de onda. A função de onda precisa ser normalizada, ou seja, a integral de $ |\Psi(x, t)|^2 $ sobre todo o espaço deve ser igual a 1. Como a função é zero fora de $ -\frac{a}{2} $ a $ \frac{a}{2} $, a gente foca nesse intervalo.
A
Simplificando:
|Psi(x, t)|^2
Usando a identidade trigonométrica $ \cos^2(\theta) = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} $:
-a2
Integrando:
a2
Os termos com seno se anulam nos limites, então:
integral-a/2^a/2 |A cos(pi xa)|^2 dx = 1

Passo 3

Agora, vamos calcular a expectativa de $ x $, ou seja, $ \langle x \rangle $. Devido à simetria da função de onda em torno de $ x=0 $, sabemos que:
x
Porque para cada $ x $ positivo, há um $ x $ negativo que cancela.

Passo 4

Vamos calcular $ \langle x^2 \rangle $:
lang<= x^2 rang<=
Usando a identidade trigonométrica novamente:
lang<= x^2 rang<= = integral-a/2^a/2 x^2 |Psi(x, t)|^2 dx = 2a integral-a/2^a/2 x^2 cos^2(pi xa) dx
A integral do termo com cosseno é zero devido à simetria, então:
lang<= x^2 rang<= = 2a integral-a/2^a/2 x^2 1 + cos(2pi xa)2 dx = 1a integral-a/2^a/2 x^2 (1 + cos(2pi xa)) dx
Então, a incerteza em $ x $ é:
lang<= x^2 rang<= = 1a integral-a/2^a/2 x^2 dx = 1a [ x^33 ]-a/2^a/2 = 1a ( (a/2)^3 - (-a/2)^33 ) = a^212

Passo 5

Agora, vamos calcular a incerteza no momento $ \Delta p $. Primeiro, precisamos achar $ \langle p \rangle $ e $ \langle p^2 \rangle $. O operador de momento é $ \hat{p} = -i\hbar \frac{d}{dx} $.
Devido à simetria da função de onda e ser um estado estacionário de energia própria, sabemos que $ \langle p \rangle = 0 $.
Então, $ \Delta p = \sqrt{\langle p^2 \rangle} $.
Calculando $ \langle p^2 \rangle $:
De
Calculando a segunda derivada de $ \Psi(x, t) $:
lang<= p rang<=
Então:
lang<= p^2 rang<=
Portanto:
p = -ihbar ddx

Passo 6

Finalmente, vamos verificar a relação de incerteza:

Resposta

A relação de incerteza é satisfeita, com $ \Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} $.

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