Considere uma partícula de massa
que pode se mover livremente sobre o eixo
entre os pontos
, mas está estritamente proibida de ser encontrada fora desta região. A função de onda da partícula é:
d) Verifique se
;
d) Verifique se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula que pode se mover livremente ao longo do eixo $ x $ entre os pontos $ -\frac{a}{2} $ e $ \frac{a}{2}
\Delta x
\Delta p $) é maior ou igual a $ \frac{\hbar}{2} $, que é a famosa relação da incerteza de Heisenberg. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções de onda, operadores de posição e momento, e como calcular as incertezas.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a constante de normalização $ A $ da função de onda. A função de onda precisa ser normalizada, ou seja, a integral de $ |\Psi(x, t)|^2 $ sobre todo o espaço deve ser igual a 1. Como a função é zero fora de $ -\frac{a}{2} $ a $ \frac{a}{2} $, a gente foca nesse intervalo.
Simplificando:
Usando a identidade trigonométrica $ \cos^2(\theta) = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} $:
Integrando:
Os termos com seno se anulam nos limites, então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a expectativa de $ x $, ou seja, $ \langle x \rangle $. Devido à simetria da função de onda em torno de $ x=0 $, sabemos que:
Porque para cada $ x $ positivo, há um $ x $ negativo que cancela.
Passo 4
Vamos calcular $ \langle x^2 \rangle $:
Usando a identidade trigonométrica novamente:
A integral do termo com cosseno é zero devido à simetria, então:
Então, a incerteza em $ x $ é:
Passo 5
Agora, vamos calcular a incerteza no momento $ \Delta p $. Primeiro, precisamos achar $ \langle p \rangle $ e $ \langle p^2 \rangle $. O operador de momento é $ \hat{p} = -i\hbar \frac{d}{dx} $.
Devido à simetria da função de onda e ser um estado estacionário de energia própria, sabemos que $ \langle p \rangle = 0 $.
Então, $ \Delta p = \sqrt{\langle p^2 \rangle} $.
Calculando $ \langle p^2 \rangle $:
Calculando a segunda derivada de $ \Psi(x, t) $:
Então:
Portanto:
Passo 6
Finalmente, vamos verificar a relação de incerteza:
Resposta
A relação de incerteza é satisfeita, com $ \Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} $.