Considere uma partícula de massa m que pode se mover livremente sobre o eixo x entre os pontos x= pm a / 2, mas está estritamente proibida de ser encontrada fora desta região. A função de onda da partícula é:
Psi(x, t)=A cos (pi xa) e^-i E t / hbar & -a / 2= a / 2
c) Calcule De;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula que se move livremente no eixo $ x $ entre $ x = -\frac{a}{2} $ e $ x = \frac{a}{2} $, mas não pode estar fora dessa região. A função de onda dela é dada por:
x á
No item c), precisamos calcular a incerteza no momento linear $ \Delta p $, onde o operador de momento é $ \hat{p} = -i \hbar \frac{\partial}{\partial x} $. Para isso, vamos precisar entender como calcular os valores esperados $ \langle p \rangle $ e $ \langle p^2 \rangle $.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor esperado do momento $ \langle p \rangle $. A fórmula para isso é:
lang<= p rang<=
Onde $ \Psi^*(x, t) $ é o conjugado complexo da função de onda. Vamos substituir $ \hat{p} $ na expressão:
lang<= p rang<= = integral-a2^a2 Psi^*(x, t) , p , Psi(x, t) , dx

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada da função de onda em relação a $ x $:
x
Então, substituindo na expressão de $ \langle p \rangle $:
partial Psipartial x = -A pia sin(pi xa) e^-i E t / hbar

Passo 4

Simplificando a expressão, notamos que $ e^{i E t / \hbar} $ e $ e^{-i E t / \hbar} $ se cancelam, e temos:
e^i E t / hbar
Usamos a identidade trigonométrica $ \cos \theta \sin \theta = \frac{1}{2} \sin(2\theta) $:
e^-i E t / hbar

Passo 5

Calculando a integral:
integral sin(2pi xa) dx = -a2pi cos(2pi xa) + C
Avaliando de $ -\frac{a}{2} $ a $ \frac{a}{2} $:
-a2
Então, $ \langle p \rangle = 0 $.

Passo 6

Agora, vamos calcular $ \langle p^2 \rangle $:
lang<= p^2 rang<=
Sabemos que $ \hat{p}^2 = (-i \hbar \frac{\partial}{\partial x})^2 = -\hbar^2 \frac{\partial^2}{\partial x^2} $. Então:
lang<= p^2 rang<= = integral-a2^a2 Psi^*(x, t) , p^2 , Psi(x, t) , dx

Passo 7

Primeiro, vamos encontrar a segunda derivada da função de onda:
partial^2 Psipartial x^2 = -A ( pia )^2 cos(pi xa) e^-i E t / hbar
Substituindo na expressão de $ \langle p^2 \rangle $:
lang<= p^2 rang<=

Passo 8

Simplificando:
lang<= p^2 rang<= = hbar^2 A^2 ( pia )^2 integral-a2^a2 cos^2(pi xa) dx
Usamos a identidade $ \cos^2 \theta = \frac{1}{2} (1 + \cos(2\theta)) $:
cos^2 theta = 12 (1 + cos(2theta))

Passo 9

Calculando a integral:
integral-a2^a2 1 , dx = a
integral-a2^a2 cos(2pi xa) dx = a2pi sin(2pi xa) |-a2^a2 = 0
Então:
lang<= p^2 rang<= = hbar^2 A^2 ( pia )^2 12 cdot a = hbar^2 pi^2 A^22a cdot a = hbar^2 pi^2 A^22

Passo 10

Agora, precisamos saber o valor de $ A $. Sabemos que a função de onda deve ser normalizada, ou seja:
A
Calculando:
integral-a2^a2 |Psi(x, t)|^2 dx = 1
Usando a identidade $ \cos^2 \theta = \frac{1}{2} (1 + \cos(2\theta)) $:
| Psi(x, t) |^2 = A^2 cos^2(pi xa)
Então:
cos^2 theta = 12 (1 + cos(2theta))

Passo 11

Substituindo $ A = \sqrt{\frac{2}{a}} $ na expressão de $ \langle p^2 \rangle $:
A = raiz2a

Passo 12

Agora, lembrando que $ \Delta p = \sqrt{ \langle p^2 \rangle - \langle p \rangle^2 } $. Como $ \langle p \rangle = 0 $:
De

Resposta

A incerteza no momento linear é $ \Delta p = \frac{\hbar \pi}{\sqrt{a}} $.

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