Considere uma partícula de massa
que pode se mover livremente sobre o eixo
entre os pontos
, mas está estritamente proibida de ser encontrada fora desta região. A função de onda da partícula é:
c) Calcule
;
c) Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula que se move livremente no eixo $ x $ entre $ x = -\frac{a}{2} $ e $ x = \frac{a}{2} $, mas não pode estar fora dessa região. A função de onda dela é dada por:
No item c), precisamos calcular a incerteza no momento linear $ \Delta p $, onde o operador de momento é $ \hat{p} = -i \hbar \frac{\partial}{\partial x} $. Para isso, vamos precisar entender como calcular os valores esperados $ \langle p \rangle $ e $ \langle p^2 \rangle $.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor esperado do momento $ \langle p \rangle $. A fórmula para isso é:
Onde $ \Psi^*(x, t) $ é o conjugado complexo da função de onda. Vamos substituir $ \hat{p} $ na expressão:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada da função de onda em relação a $ x $:
Então, substituindo na expressão de $ \langle p \rangle $:
Passo 4
Simplificando a expressão, notamos que $ e^{i E t / \hbar} $ e $ e^{-i E t / \hbar} $ se cancelam, e temos:
Usamos a identidade trigonométrica $ \cos \theta \sin \theta = \frac{1}{2} \sin(2\theta) $:
Passo 5
Calculando a integral:
Avaliando de $ -\frac{a}{2} $ a $ \frac{a}{2} $:
Então, $ \langle p \rangle = 0 $.
Passo 6
Agora, vamos calcular $ \langle p^2 \rangle $:
Sabemos que $ \hat{p}^2 = (-i \hbar \frac{\partial}{\partial x})^2 = -\hbar^2 \frac{\partial^2}{\partial x^2} $. Então:
Passo 7
Primeiro, vamos encontrar a segunda derivada da função de onda:
Substituindo na expressão de $ \langle p^2 \rangle $:
Passo 8
Simplificando:
Usamos a identidade $ \cos^2 \theta = \frac{1}{2} (1 + \cos(2\theta)) $:
Passo 9
Calculando a integral:
Então:
Passo 10
Agora, precisamos saber o valor de $ A $. Sabemos que a função de onda deve ser normalizada, ou seja:
Calculando:
Usando a identidade $ \cos^2 \theta = \frac{1}{2} (1 + \cos(2\theta)) $:
Então:
Passo 11
Substituindo $ A = \sqrt{\frac{2}{a}} $ na expressão de $ \langle p^2 \rangle $:
Passo 12
Agora, lembrando que $ \Delta p = \sqrt{ \langle p^2 \rangle - \langle p \rangle^2 } $. Como $ \langle p \rangle = 0 $:
Resposta
A incerteza no momento linear é $ \Delta p = \frac{\hbar \pi}{\sqrt{a}} $.