Considere uma partícula de massa que pode se mover livremente sobre o eixo entre os pontos , mas está estritamente proibida de ser encontrada fora desta região. A função de onda da partícula é:
g) Compare e discuta o resultado encontrado no item e) com . O que está acontecendo?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula com massa que pode se mover livremente ao longo do eixo , mas só entre os pontos e . Fora dessa região, ela não pode estar. A função de onda da partícula é dada por:
No item g), a gente precisa comparar o resultado encontrado no item e) com o valor esperado de , denotado por . Para fazer isso, vamos precisar entender como calcular valores esperados na mecânica quântica e, especificamente, como encontrar para essa função de onda.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o valor esperado . Na mecânica quântica, o valor esperado de uma grandeza física (neste caso, a posição ) é uma média ponderada dos possíveis valores dessa grandeza, onde os pesos são dados pelo quadrado da função de onda.
Matematicamente, o valor esperado de é dado por:
Aqui, é o conjugado complexo da função de onda .
Passo 3
Vamos calcular para a nossa função de onda específica. Primeiro, observamos que fora do intervalo , a função de onda é zero, então a integral se reduz a esse intervalo:
Substituindo na expressão, temos:
Simplificando os termos, já que :
Passo 4
Agora, precisamos resolver essa integral. Primeiro, vamos lembrar que pode ser escrita usando uma identidade trigonométrica:
Aplicando isso na nossa integral:
Vamos analisar as duas integrais separadamente.
Passo 5
A primeira integral é simples:
A segunda integral envolve uma função ímpar (x cos(2pi xa) é ímpar) integrada em um intervalo simétrico em torno de zero. A integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico é zero.
Portanto:
integral-a/2^a/2 x cos(2pi xa) dx = 0
Passo 6
Com isso, temos:
lang<= x rang<= = A^22 cdot 0 + A^22 cdot 0 = 0
Então, o valor esperado de x é zero.
Passo 7
Agora, voltando ao item e), supondo que lá tenhamos calculado outro valor esperado, digamos lang<= p rang<=, que também pode ser zero devido à simetria da função de onda. A comparação entre os resultados nos mostra que tanto lang<= x rang<= quanto lang<= p rang<= são zero.
Isso acontece porque a função de onda é simétrica em torno de x=0. Não há preferência por um lado do eixo x, o que faz com que a média de x seja zero. O mesmo vale para o momento p, indicando que não há momento preferencial na distribuição da partícula.
Resposta
O valor esperado de x é zero, indicando que a partícula está simetricamente distribuída ao redor de x=0, refletindo a simetria da função de onda.