Considere uma partícula de massa m que pode se mover livremente sobre o eixo x entre os pontos x= pm a / 2, mas está estritamente proibida de ser encontrada fora desta região. A função de onda da partícula é:
Psi(x, t)=A cos (pi xa) e^-i E t / hbar & -a / 2= a / 2
g) Compare e discuta o resultado encontrado no item e) com lang<= xrang<=. O que está acontecendo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula com massa m que pode se mover livremente ao longo do eixo x, mas só entre os pontos x = -a2 e x = a2. Fora dessa região, ela não pode estar. A função de onda da partícula é dada por:
Psi(x, t) = A cos(pi xa) e^-i E t / hbar & para -a2 < x < a2 0 & caso contrário á
No item g), a gente precisa comparar o resultado encontrado no item e) com o valor esperado de x, denotado por lang<= x rang<=. Para fazer isso, vamos precisar entender como calcular valores esperados na mecânica quântica e, especificamente, como encontrar lang<= x rang<= para essa função de onda.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o valor esperado lang<= x rang<=. Na mecânica quântica, o valor esperado de uma grandeza física (neste caso, a posição x) é uma média ponderada dos possíveis valores dessa grandeza, onde os pesos são dados pelo quadrado da função de onda.
Matematicamente, o valor esperado de x é dado por:
lang<= x rang<= = integral-infty^infty Psi^*(x, t) , x , Psi(x, t) , dx
Aqui, Psi^*(x, t) é o conjugado complexo da função de onda Psi(x, t).

Passo 3

Vamos calcular lang<= x rang<= para a nossa função de onda específica. Primeiro, observamos que fora do intervalo -a2 < x < a2, a função de onda é zero, então a integral se reduz a esse intervalo:
lang<= x rang<= = integral-a/2^a/2 Psi^*(x, t) , x , Psi(x, t) , dx
Substituindo Psi(x, t) na expressão, temos:
lang<= x rang<= = integral-a/2^a/2 [ A cos(pi xa) e^i E t / hbar ] , x , [ A cos(pi xa) e^-i E t / hbar ] dx
Simplificando os termos, já que e^i E t / hbar cdot e^-i E t / hbar = 1:
lang<= x rang<= = A^2 integral-a/2^a/2 x cos^2(pi xa) dx

Passo 4

Agora, precisamos resolver essa integral. Primeiro, vamos lembrar que cos^2(theta) pode ser escrita usando uma identidade trigonométrica:
cos^2(theta) = 1 + cos(2theta)2
Aplicando isso na nossa integral:
lang<= x rang<= = A^2 integral-a/2^a/2 x ( 1 + cos(2pi xa)2 ) dx = A^22 integral-a/2^a/2 x , dx + A^22 integral-a/2^a/2 x cos(2pi xa) dx
Vamos analisar as duas integrais separadamente.

Passo 5

A primeira integral é simples:
integral-a/2^a/2 x , dx = x^22 |-a/2^a/2 = (a/2)^22 - (-a/2)^22 = a^28 - a^28 = 0
A segunda integral envolve uma função ímpar ( x cos(2pi xa) é ímpar) integrada em um intervalo simétrico em torno de zero. A integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico é zero.
Portanto:
integral-a/2^a/2 x cos(2pi xa) dx = 0

Passo 6

Com isso, temos:
lang<= x rang<= = A^22 cdot 0 + A^22 cdot 0 = 0
Então, o valor esperado de x é zero.

Passo 7

Agora, voltando ao item e), supondo que lá tenhamos calculado outro valor esperado, digamos lang<= p rang<=, que também pode ser zero devido à simetria da função de onda. A comparação entre os resultados nos mostra que tanto lang<= x rang<= quanto lang<= p rang<= são zero.
Isso acontece porque a função de onda é simétrica em torno de x=0. Não há preferência por um lado do eixo x, o que faz com que a média de x seja zero. O mesmo vale para o momento p, indicando que não há momento preferencial na distribuição da partícula.

Resposta

O valor esperado de x é zero, indicando que a partícula está simetricamente distribuída ao redor de x=0, refletindo a simetria da função de onda.

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