Considere uma partícula de massa
que pode se mover livremente sobre o eixo
entre os pontos
, mas está estritamente proibida de ser encontrada fora desta região. A função de onda da partícula é:
e) Qual é o local mais provável de se localizar a partícula? (calcule
)
e) Qual é o local mais provável de se localizar a partícula? (calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula que pode se mover livremente ao longo do eixo $ x $ entre os pontos $ x = -\frac{a}{2} $ e $ x = \frac{a}{2} $, mas não pode estar fora dessa região. A função de onda da partícula é dada por:
A gente precisa descobrir onde é mais provável encontrar a partícula, ou seja, encontrar o ponto onde a densidade de probabilidade é máxima. Para isso, vamos calcular onde a derivada da densidade de probabilidade em relação a $ x $ é zero ($ \frac{\partial \rho}{\partial x} = 0 $).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a densidade de probabilidade $ \rho(x) $. Ela é definida como o módulo ao quadrado da função de onda:
Nesse caso, como $ \Psi(x, t) $ tem uma parte que depende de $ x $ e outra que depende de $ t $, ao calcular o módulo ao quadrado, a parte que depende de $ t $ se cancela, já que $ |e^{-i E t / \hbar}|^2 = 1 $. Então, fica:
Passo 3
Agora, para encontrar onde $ \rho(x) $ é máxima, precisamos achar os valores de $ x $ que deixam a derivada de $ \rho(x) $ em relação a $ x $ igual a zero:
Isso nos dará os pontos críticos que podem ser máximos, mínimos ou pontos de inflexão.
Passo 4
Vamos calcular a derivada de $ \rho(x) $ em relação a $ x $:
Aplicando a regra da cadeia para derivação:
Simplificando:
Podemos usar a identidade trigonométrica $ 2 \cos \theta \sin \theta = \sin(2\theta) $:
Igualando a zero para encontrar os pontos críticos:
Como $ |A|^2 $ e $ \frac{\pi}{a} $ são constantes positivas, a equação se reduz a:
Passo 5
A equação $ \sin\left(\frac{2\pi x}{a}\right) = 0 $ é satisfeita quando:
Simplificando:
Agora, lembrando que $ x $ está restrito entre $ -\frac{a}{2} $ e $ \frac{a}{2} $, os valores possíveis de $ n $ são $ n = -1, 0, 1 $.
Portanto, os pontos críticos são:
Resposta
Analisando os pontos críticos, vemos que $ x = 0 $ está dentro da região permitida e corresponde a um máximo da função $ \cos^2\left(\frac{\pi x}{a}\right) $. Já $ x = \pm\frac{a}{2} $ são os limites da região onde a partícula pode estar, mas nesses pontos a densidade de probabilidade tende a zero.
Portanto, o local mais provável de se localizar a partícula é no ponto $ x = 0 $.