Considere uma partícula de massa m que pode se mover livremente sobre o eixo x entre os pontos x= pm a / 2, mas está estritamente proibida de ser encontrada fora desta região. A função de onda da partícula é:
Psi(x, t)=A cos (pi xa) e^-i E t / hbar & -a / 2= a / 2
e) Qual é o local mais provável de se localizar a partícula? (calcule partial rhopartial x=0 )

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula que pode se mover livremente ao longo do eixo $ x $ entre os pontos $ x = -\frac{a}{2} $ e $ x = \frac{a}{2} $, mas não pode estar fora dessa região. A função de onda da partícula é dada por:
x á
A gente precisa descobrir onde é mais provável encontrar a partícula, ou seja, encontrar o ponto onde a densidade de probabilidade é máxima. Para isso, vamos calcular onde a derivada da densidade de probabilidade em relação a $ x $ é zero ($ \frac{\partial \rho}{\partial x} = 0 $).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a densidade de probabilidade $ \rho(x) $. Ela é definida como o módulo ao quadrado da função de onda:
rho(x)
Nesse caso, como $ \Psi(x, t) $ tem uma parte que depende de $ x $ e outra que depende de $ t $, ao calcular o módulo ao quadrado, a parte que depende de $ t $ se cancela, já que $ |e^{-i E t / \hbar}|^2 = 1 $. Então, fica:
rho(x) = |Psi(x, t)|^2

Passo 3

Agora, para encontrar onde $ \rho(x) $ é máxima, precisamos achar os valores de $ x $ que deixam a derivada de $ \rho(x) $ em relação a $ x $ igual a zero:
rho(x)
Isso nos dará os pontos críticos que podem ser máximos, mínimos ou pontos de inflexão.

Passo 4

Vamos calcular a derivada de $ \rho(x) $ em relação a $ x $:
rho(x)
Aplicando a regra da cadeia para derivação:
x
Simplificando:
rho(x) = |A|^2 cos^2(pi xa)
Podemos usar a identidade trigonométrica $ 2 \cos \theta \sin \theta = \sin(2\theta) $:
partial rhopartial x = |A|^2 cdot 2 cos(pi xa) cdot (-sin(pi xa)) cdot pia
Igualando a zero para encontrar os pontos críticos:
partial rhopartial x = -2 |A|^2 pia cos(pi xa) sin(pi xa)
Como $ |A|^2 $ e $ \frac{\pi}{a} $ são constantes positivas, a equação se reduz a:
2 cos theta sin theta = sin(2theta)

Passo 5

A equação $ \sin\left(\frac{2\pi x}{a}\right) = 0 $ é satisfeita quando:
sin(2pi xa) = 0 éú
Simplificando:
2pi xa = npi onde n é um número inteiro
Agora, lembrando que $ x $ está restrito entre $ -\frac{a}{2} $ e $ \frac{a}{2} $, os valores possíveis de $ n $ são $ n = -1, 0, 1 $.
Portanto, os pontos críticos são:
x = n a2

Resposta

Analisando os pontos críticos, vemos que $ x = 0 $ está dentro da região permitida e corresponde a um máximo da função $ \cos^2\left(\frac{\pi x}{a}\right) $. Já $ x = \pm\frac{a}{2} $ são os limites da região onde a partícula pode estar, mas nesses pontos a densidade de probabilidade tende a zero.
Portanto, o local mais provável de se localizar a partícula é no ponto $ x = 0 $.

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