Considere uma partícula de massa m que pode se mover livremente sobre o eixo x entre os pontos x= pm a / 2, mas está estritamente proibida de ser encontrada fora desta região. A função de onda da partícula é:
Psi(x, t)=A cos (pi xa) e^-i E t / hbar & -a / 2= a / 2
f) Qual é a probabilidade de se encontrar a partícula na região -a / 2 ? (calcule explicitamente)

Passo 1

Beleza, vamos resolver uma questão de Mecânica Quântica! A gente tem uma partícula que só pode se mover no eixo $ x $ entre $ -\frac{a}{2} $ e $ \frac{a}{2} $, com uma função de onda dada. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a probabilidade de encontrar essa partícula na região de $ -\frac{a}{2} < x < 0 $. Para isso, vamos precisar entender como calcular probabilidades a partir da função de onda.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que, na mecânica quântica, a probabilidade de encontrar uma partícula em uma certa região é dada pela integral do módulo ao quadrado da função de onda nessa região. Matemáticamente, isso é representado por:
P = integralx1^x2 |Psi(x, t)|^2 , dx
Aqui, $ P $ é a probabilidade, e $ \Psi(x, t) $ é a função de onda da partícula.

Passo 3

Vamos calcular $ |\Psi(x, t)|^2 $. A função de onda dada é:
|Psi(x, t)|^2 á
O módulo ao quadrado da função de onda é:
Psi(x, t) = A cos(pi xa) e^-i E t / hbar & para -a2 < x < a2 0 & caso contrário
Como $ \Psi^*(x, t) $ é o conjugado complexo de $ \Psi(x, t) $, temos:
|Psi(x, t)|^2 = Psi(x, t) cdot Psi^*(x, t)
Sabendo que $ |e^{-i E t / \hbar}|^2 = 1 $, simplificamos para:
Psi^*(x, t)

Passo 4

Agora, precisamos integrar $ |\Psi(x, t)|^2 $ de $ x = -\frac{a}{2} $ até $ x = 0 $ para encontrar a probabilidade desejada:
|Psi(x, t)|^2

Passo 5

Para resolver essa integral, vamos usar uma identidade trigonométrica que simplifica $ \cos^2(\theta) $:
cos^2(theta)
Aplicando isso na nossa integral:
cos^2(theta) = 1 + cos(2theta)2

Passo 6

Vamos separar a integral:
P = |A|^22 [ integral-a/2^0 1 , dx + integral-a/2^0 cos(2pi xa) , dx ]
Resolvendo cada parte:
  1. integral-a/2^0 1 , dx = [ x ]-a/2^0 = 0 - (-a/2) = a2
  2. integral-a/2^0 cos(2pi xa) , dx = [ a2pi sin(2pi xa) ]-a/2^0 = a2pi [0 - 0] = 0
Então, a probabilidade fica:
P = |A|^22 ( a2 + 0 ) = |A|^2 a4

Resposta

A probabilidade de encontrar a partícula na região $ -\frac{a}{2} < x < 0 $ é $ \frac{|A|^2 a}{4} $.

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