Considere uma partícula de massa
que pode se mover livremente sobre o eixo
entre os pontos
, mas está estritamente proibida de ser encontrada fora desta região. A função de onda da partícula é:
f) Qual é a probabilidade de se encontrar a partícula na região
? (calcule explicitamente)
f) Qual é a probabilidade de se encontrar a partícula na região
Passo 1
Beleza, vamos resolver uma questão de Mecânica Quântica! A gente tem uma partícula que só pode se mover no eixo $ x $ entre $ -\frac{a}{2} $ e $ \frac{a}{2} $, com uma função de onda dada. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a probabilidade de encontrar essa partícula na região de $ -\frac{a}{2} < x < 0 $. Para isso, vamos precisar entender como calcular probabilidades a partir da função de onda.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que, na mecânica quântica, a probabilidade de encontrar uma partícula em uma certa região é dada pela integral do módulo ao quadrado da função de onda nessa região. Matemáticamente, isso é representado por:
Aqui, $ P $ é a probabilidade, e $ \Psi(x, t) $ é a função de onda da partícula.
Passo 3
Vamos calcular $ |\Psi(x, t)|^2 $. A função de onda dada é:
O módulo ao quadrado da função de onda é:
Como $ \Psi^*(x, t) $ é o conjugado complexo de $ \Psi(x, t) $, temos:
Sabendo que $ |e^{-i E t / \hbar}|^2 = 1 $, simplificamos para:
Passo 4
Agora, precisamos integrar $ |\Psi(x, t)|^2 $ de $ x = -\frac{a}{2} $ até $ x = 0 $ para encontrar a probabilidade desejada:
Passo 5
Para resolver essa integral, vamos usar uma identidade trigonométrica que simplifica $ \cos^2(\theta) $:
Aplicando isso na nossa integral:
Passo 6
Vamos separar a integral:
Resolvendo cada parte:
Então, a probabilidade fica:
Resposta
A probabilidade de encontrar a partícula na região $ -\frac{a}{2} < x < 0 $ é $ \frac{|A|^2 a}{4} $.