Considere uma partícula de massa
e momento angular
que se move em uma trajetória descrita pela equação
, onde
é uma constante.
Determine o ponto de equilíbrio do potencial efetivo
.
Determine o ponto de equilíbrio do potencial efetivo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula com massa
e momento angular
que se move numa trajetória dada por
, onde
é uma constante. A gente precisa descobrir o ponto de equilíbrio do potencial efetivo
. Isso envolve conceitos de mecânica clássica, especificamente movimento em órbita e potencial efetivo. Vamos precisar entender como o potencial efetivo é formado e como encontrar seu ponto de equilíbrio.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o potencial efetivo
é utilizado para tratar o movimento radial de uma partícula em um campo central. Ele combina o potencial real
com a contribuição da energia cinética angular. A fórmula geral do potencial efetivo é:
Aqui,
representa a energia cinética associada ao movimento angular.
Passo 3
No nosso problema, a trajetória é dada por
. Para encontrar o ponto de equilíbrio, precisamos relacionar essa trajetória com o potencial efetivo. O ponto de equilíbrio ocorre quando a derivada de
em relação a
é zero, ou seja:
Isso significa que, nesse ponto, a força radial é zero e a partícula pode manter uma órbita estável.
Passo 4
Vamos agora derivar
. Mas primeiro, precisamos expressar o potencial
. Como a trajetória está relacionada a um campo central, assumimos que
depende apenas de
. No entanto, o enunciado não fornece
diretamente. Portanto, para avançar, precisamos relacionar a trajetória
com as equações do movimento.
Passo 5
Sabemos que para movimentos em campo central, a equação de movimento em termos de
é dada por:
Dado que
, vamos calcular
:
Então,
Simplificando,
Passo 6
Essa equação relaciona
com os parâmetros do sistema. Para encontrar o ponto de equilíbrio do potencial efetivo, precisamos considerar que nesse ponto, a força resultante é zero, ou seja, o torque é nulo. Isso nos leva a condições de estabilidade onde a partícula pode permanecer em uma trajetória circular.
Passo 7
Voltando ao potencial efetivo:
Para encontrar o ponto de equilíbrio, derivamos em relação a
e igualamos a zero:
Isso implica que:
Passo 8
Sem a expressão exata de
, vamos assumir que o potencial está relacionado à força central que mantém a partícula na trajetória
. A partir das condições de equilíbrio e das relações encontradas, podemos expressar
em termos dos parâmetros dados.
Passo 9
Com base na equação obtida no Passo 5:
Podemos resolver para
em termos dos outros parâmetros e então relacionar com
para encontrar o ponto de equilíbrio.
Passo 10
Finalmente, resolvendo as equações e substituindo de volta, encontramos que o ponto de equilíbrio ocorre quando:
Resposta
O ponto de equilíbrio do potencial efetivo
é dado por: