Uma partícula de massa mu se move em uma órbita circular sob a ação de uma força central F(r)=-k r^-n, onde k>0 é uma constante. Sabendo que a órbita da partícula passa pelo centro de força, determine o expoente n.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma partícula de massa mu que se movimenta em uma órbita circular sob a ação de uma força central da forma F(r) = -k r^-n, onde k > 0 e n é o expoente que precisamos descobrir. O objetivo é determinar o valor de n sabendo que a órbita da partícula passa pelo centro de força. Para resolver isso, vamos usar conceitos de força centrípeta e movimento circular, além de analisar como a força central depende da distância r.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma partícula se mover em uma órbita circular estável, a força centrípeta necessária para manter o movimento circular deve ser igual à força central que está atuando na partícula. A força centrípeta ( Fc) é dada por:
Fc = mu v^2r
onde mu é a massa da partícula, v é a velocidade tangencial, e r é o raio da órbita.

Passo 3

A força central dada no problema é:
F(r) = -k r^-n
Como estamos interessados na magnitude da força para equilibrar a força centrípeta, podemos considerar:
|F(r)| = k r^-n

Passo 4

Igualando a força centrípeta à força central para manter a órbita circular, temos:
mu v^2r = k r^-n
Simplificando a equação:
mu v^2 = k r^1 - n

Passo 5

Agora, para determinar o expoente n, precisamos considerar a condição adicional de que a órbita passa pelo centro de força. Isso implica que a força central deve fornecer a força necessária para que a partícula alcance o centro, ou seja, a força deve seguir uma relação que permita uma trajetória que passe pelo centro.
Sabemos que para a força gravitacional, onde F(r) propto r^-2, temos órbitas que fecham e podem passar pelo centro de força (como em movimentos planetários com n=2). Isso sugere que o valor de n que satisfaz a condição do problema é n = 2.

Resposta

O expoente n é 2.

Exercícios relacionados