Uma partícula de massa
se move em uma órbita circular sob a ação de uma força central
, onde
é uma constante. Sabendo que a órbita da partícula passa pelo centro de força, determine o expoente
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma partícula de massa
que se movimenta em uma órbita circular sob a ação de uma força central da forma
, onde
e
é o expoente que precisamos descobrir. O objetivo é determinar o valor de
sabendo que a órbita da partícula passa pelo centro de força. Para resolver isso, vamos usar conceitos de força centrípeta e movimento circular, além de analisar como a força central depende da distância
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para uma partícula se mover em uma órbita circular estável, a força centrípeta necessária para manter o movimento circular deve ser igual à força central que está atuando na partícula. A força centrípeta (
) é dada por:
onde
é a massa da partícula,
é a velocidade tangencial, e
é o raio da órbita.
Passo 3
A força central dada no problema é:
Como estamos interessados na magnitude da força para equilibrar a força centrípeta, podemos considerar:
Passo 4
Igualando a força centrípeta à força central para manter a órbita circular, temos:
Simplificando a equação:
Passo 5
Agora, para determinar o expoente
, precisamos considerar a condição adicional de que a órbita passa pelo centro de força. Isso implica que a força central deve fornecer a força necessária para que a partícula alcance o centro, ou seja, a força deve seguir uma relação que permita uma trajetória que passe pelo centro.
Sabemos que para a força gravitacional, onde
, temos órbitas que fecham e podem passar pelo centro de força (como em movimentos planetários com
). Isso sugere que o valor de
que satisfaz a condição do problema é
.
Resposta
O expoente
é
.