Considere uma partícula de massa
e momento angular
que se move em uma trajetória descrita pela equação
, onde
e
são constantes.
Determine a forma da força central
. A força é atrativa ou repulsiva?
Determine a forma da força central
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de física envolvendo movimento de partículas e força central. A gente tem uma partícula com massa
e momento angular
, que se move seguindo a trajetória dada por
. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a forma da força central
que está agindo na partícula e também determinar se essa força é atrativa (puxa a partícula) ou repulsiva (empurra a partícula).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o momento angular
para um movimento central é dado por:
Mas como a trajetória está em termos de
, vamos usar a derivada em relação a
. Para isso, podemos relacionar as derivadas usando a regra da cadeia.
Passo 3
Calculamos a derivada de
em relação a
:
Passo 4
A segunda derivada de
em relação a
é:
Passo 5
Sabemos que a força central
está relacionada com a aceleração radial. A equação de movimento radial em coordenadas polares é:
Mas precisamos expressar tudo em termos de
. Usando a relação do momento angular
, podemos obter
.
Passo 6
Substituindo
na equação da força:
Mas como complicar menos, vamos usar diretamente a relação para força central em termos de
:
Substituindo
:
Passo 7
Agora, substituímos
na equação:
Simplificando:
Passo 8
Portanto, a forma da força central é:
Passo 9
Para determinar se a força é atrativa ou repulsiva, olhamos para o sinal de
. Se
for negativo, a força é atrativa; se for positiva, é repulsiva.
Sabemos que
,
, e
. Então, o sinal de
depende de
:
- Se
(ou seja, ), é positivo → repulsiva. - Se
(ou seja, ), é negativo → atrativa. - Se
, → não há força.
Resposta
A força central é dada por
Além disso, a força é repulsiva se
e atrativa se
.