Considere uma partícula de massa mu e momento angular l que se move em uma trajetória descrita pela equação r(theta)=k e^-alpha theta, onde k>0 e alpha>0 são constantes.
Determine a forma da força central F(r). A força é atrativa ou repulsiva?

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de física envolvendo movimento de partículas e força central. A gente tem uma partícula com massa mu e momento angular l, que se move seguindo a trajetória dada por r(theta) = k e^-alpha theta. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a forma da força central F(r) que está agindo na partícula e também determinar se essa força é atrativa (puxa a partícula) ou repulsiva (empurra a partícula).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o momento angular l para um movimento central é dado por:
l = mu r^2 dthetadt
Mas como a trajetória está em termos de theta, vamos usar a derivada em relação a theta. Para isso, podemos relacionar as derivadas usando a regra da cadeia.

Passo 3

Calculamos a derivada de r em relação a theta:
drdtheta = ddtheta ( k e^-alpha theta ) = -alpha k e^-alpha theta = -alpha r

Passo 4

A segunda derivada de r em relação a theta é:
d^2 rdtheta^2 = ddtheta ( -alpha r ) = -alpha drdtheta = -alpha (-alpha r) = alpha^2 r

Passo 5

Sabemos que a força central F(r) está relacionada com a aceleração radial. A equação de movimento radial em coordenadas polares é:
mu ( d^2 rdt^2 - r ( dthetadt )^2 ) = F(r)
Mas precisamos expressar tudo em termos de theta. Usando a relação do momento angular l = mu r^2 dthetadt, podemos obter dthetadt = lmu r^2.

Passo 6

Substituindo dthetadt na equação da força:
d^2 rdt^2 = ddt ( drdt ) = ddtheta ( drdtheta cdot dthetadt ) = d^2 rdtheta^2 ( dthetadt )^2 + drdtheta cdot d^2 thetadt^2
Mas como complicar menos, vamos usar diretamente a relação para força central em termos de r(theta):
F(r) = mu ( d^2 rdtheta^2 ( dthetadt )^2 - r ( dthetadt )^2 )
Substituindo dthetadt = lmu r^2:
F(r) = mu ( d^2 rdtheta^2 ( lmu r^2 )^2 - r ( lmu r^2 )^2 )

Passo 7

Agora, substituímos d^2 rdtheta^2 = alpha^2 r na equação:
F(r) = mu ( alpha^2 r ( lmu r^2 )^2 - r ( lmu r^2 )^2 )
Simplificando:
F(r) = mu ( (alpha^2 - 1) r ( l^2mu^2 r^4 ) ) = mu (alpha^2 - 1) l^2mu^2 r^3 = (alpha^2 - 1) l^2mu r^3

Passo 8

Portanto, a forma da força central é:
F(r) = (alpha^2 - 1) l^2mu r^3

Passo 9

Para determinar se a força é atrativa ou repulsiva, olhamos para o sinal de F(r). Se F(r) for negativo, a força é atrativa; se for positiva, é repulsiva.
Sabemos que mu > 0, l^2 > 0, e r > 0. Então, o sinal de F(r) depende de (alpha^2 - 1):
  • Se alpha^2 - 1 > 0 (ou seja, alpha > 1), F(r) é positivo → repulsiva.
  • Se alpha^2 - 1 < 0 (ou seja, alpha < 1), F(r) é negativo → atrativa.
  • Se alpha = 1, F(r) = 0 → não há força.

Resposta

A força central é dada por
F(r) = (alpha^2 - 1) , l^2mu , r^3
Além disso, a força é repulsiva se alpha > 1 e atrativa se alpha < 1.

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