Para o oscilador harmônico quântico, a função de onda do estado fundamental é dada por:
onde
.
Usando a energia do estado fundamental
, calcule
.
Usando a energia do estado fundamental
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício sobre o oscilador harmônico quântico. O que a gente tem aqui é a função de onda do estado fundamental, que é essa palavrinha complicada que basicamente descreve como a partícula se comporta no mínimo de energia. A gente vai precisar mexer com energia do estado fundamental e algumas fórmulas básicas de física quântica para achar o valor de $ x_{máx} $. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a gente precisa calcular: $ x_{máx} = \sqrt{\frac{2 E_{0}}{m \omega^{2}}} $. Essa expressão dá uma posição característica relacionada à energia do sistema. Para chegar lá, vamos usar a energia do estado fundamental, que já foi dada como $ E_{0} = \frac{\hbar \omega}{2} $.
Passo 3
Vamos substituir $ E_{0} $ na fórmula de $ x_{máx} $. Assim, ficamos com:
Passo 4
Agora, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Multiplicando o 2 com $ \frac{\hbar \omega}{2} $, o 2 cancela:
Passo 5
Na fração, o $ \omega $ no numerador e o $ \omega^{2} $ no denominador simplificam, deixando apenas $ \omega $ no denominador:
Passo 6
Prontinho! Essa é a expressão final para $ x_{máx} $. Ela mostra como a posição característica depende da massa $ m $, da frequência angular $ \omega $ e da constante de Planck reduzida $ \hbar $.
Resposta
O valor de $ x_{máx} $ é: