Para o oscilador harmônico quântico, a função de onda do estado fundamental é dada por:
psi(x)=(alphapi)^1 / 4 e^-12 alpha x^2
onde alpha=m omegahbar.
Usando a energia do estado fundamental E0=hbar omega2, calcule x máx =raiz2 E0m omega^2á.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício sobre o oscilador harmônico quântico. O que a gente tem aqui é a função de onda do estado fundamental, que é essa palavrinha complicada que basicamente descreve como a partícula se comporta no mínimo de energia. A gente vai precisar mexer com energia do estado fundamental e algumas fórmulas básicas de física quântica para achar o valor de $ x_{máx} $. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a gente precisa calcular: $ x_{máx} = \sqrt{\frac{2 E_{0}}{m \omega^{2}}} $. Essa expressão dá uma posição característica relacionada à energia do sistema. Para chegar lá, vamos usar a energia do estado fundamental, que já foi dada como $ E_{0} = \frac{\hbar \omega}{2} $.

Passo 3

Vamos substituir $ E_{0} $ na fórmula de $ x_{máx} $. Assim, ficamos com:
E0 á

Passo 4

Agora, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Multiplicando o 2 com $ \frac{\hbar \omega}{2} $, o 2 cancela:
hbar omega2 á

Passo 5

Na fração, o $ \omega $ no numerador e o $ \omega^{2} $ no denominador simplificam, deixando apenas $ \omega $ no denominador:
omega á

Passo 6

Prontinho! Essa é a expressão final para $ x_{máx} $. Ela mostra como a posição característica depende da massa $ m $, da frequência angular $ \omega $ e da constante de Planck reduzida $ \hbar $.

Resposta

O valor de $ x_{máx} $ é:
xmáx á

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