Considere que uma partícula se move no espaço, de modo que sua posição no instante t é dada pela função
r(t)=lang<= 3 cos t, t, 3 sen trang<=
Encontre
(b) (1,5 ponto) a distância percorrida pela partícula entre os pontos (3,0,0) e (0, pi / 2,3).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a distância percorrida por uma partícula cuja posição é dada por r(t)=lang<=3cos t,;t,;3sin trang<=, entre os pontos (3,0,0) e (0,pi/2,3). O conteúdo envolve comprimento de arco de uma curva vetorial e vamos precisar usar a fórmula
s=integrala^b|r'(t)|,dt
além de identificar corretamente os valores de parâmetro correspondentes a esses pontos.

Passo 2

Precisamos achar os valores de t que geram os pontos desejados. Para t=0 temos
r(0)=lang<=3cos0,;0,;3sin0rang<==lang<=3,0,0rang<=,
e para t=pi/2 temos
r(pi/2)=lang<=3cos(pi/2),;pi/2,;3sin(pi/2)rang<==lang<=0,pi/2,3rang<=
Portanto, os limites de integração são a=0 e b=pi/2.

Passo 3

Agora calculamos a derivada de r(t) e sua norma (velocidade):
r'(t)=lang<=-3sin t,;1,;3cos trang<=,
|r'(t)|=raiz(-3sin t)^2+1^2+(3cos t)^2=raiz9sin^2t+1+9cos^2t=raiz10

Passo 4

Como a velocidade é constante ( raiz10 ), basta integrar:
s=integral0^pi/2raiz10,dt=raiz10,l[tr]0^pi/2=raiz10cdotpi2

Resposta

A distância percorrida é dfracpiraiz102.

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