(2,5 pontos) Verifique se a função
é solução da equação de Laplace
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a função $ u = x^{2} - y^{2} $ é uma solução da equação de Laplace, que é dada por $ u_{xx} + u_{yy} = 0 $. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas parciais e como aplicá-las nessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem da função $ u $ em relação a $ x $ e $ y $. Ou seja, precisamos calcular $ u_{xx} $ e $ u_{yy} $.
Passo 3
Vamos começar calculando a primeira derivada de $ u $ em relação a $ x $:
Agora, derivamos novamente para obter $ u_{xx} $:
Fazendo o mesmo para a derivada em relação a $ y $:
E a segunda derivada:
Passo 4
Agora que temos $ u_{xx} = 2 $ e $ u_{yy} = -2 $, vamos somar essas duas derivadas conforme a equação de Laplace:
Resposta
Sim, a função $ u = x^{2} - y^{2} $ satisfaz a equação de Laplace, já que $ u_{xx} + u_{yy} = 0 $.