Considere a função f(x, y)=rx^4-y^4x^2+y^2, se (x, y) neq(0,0) 1, se (x, y)=(0,0).
© ( 1,0 ponto) f é diferenciável no ponto (0,0) ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função $ f(x, y) $ que é definida de duas formas:
  • Para qualquer ponto diferente de f(x, y) , ela é igual a (0,0).
  • No ponto x^4 - y^4x^2 + y^2, ela vale 1.
O que a gente precisa descobrir aqui é se essa função é diferenciável no ponto (0,0). Diferenciabilidade é um conceito de cálculo que, basicamente, diz se a função tem uma boa aproximação linear naquele ponto. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre limites e derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é contínua no ponto (0,0). Para uma função ser diferenciável, ela precisa ser contínua nesse ponto. Vamos calcular o limite de $ f(x, y) $ quando f(x, y) se aproxima de (x, y).

Passo 3

Para calcular lim(x,y) to (0,0) x^4 - y^4x^2 + y^2, podemos usar coordenadas polares. Vamos substituir x = rcostheta e y = rsintheta, onde r é a distância ao ponto (0,0).

Passo 4

Substituindo na função:
(rcostheta)^4 - (rsintheta)^4(rcostheta)^2 + (rsintheta)^2 = r^4cos^4theta - r^4sin^4thetar^2(cos^2theta + sin^2theta) = r^4(cos^4theta - sin^4theta)r^2 = r^2(cos^4theta - sin^4theta)
Como cos^4theta - sin^4theta é limitado (sempre entre -1 e 1), o limite quando r to 0 de r^2(cos^4theta - sin^4theta) é 0.

Passo 5

Vimos que lim(x,y) to (0,0) f(x, y) = 0, mas f(0,0) = 1. Como o limite não coincide com o valor da função no ponto, a função não é contínua em (0,0).

Passo 6

Já que a função não é contínua em (0,0), ela não pode ser diferenciável nesse ponto. A diferenciabilidade exige continuidade, então infelizmente já podemos concluir por aqui.

Resposta

Não, a função $ f $ não é diferenciável no ponto f porque não é contínua nesse ponto.

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