Considere a função
.
© ( 1,0 ponto)
é diferenciável no ponto
? Justifique sua resposta.
© ( 1,0 ponto)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função $ f(x, y) $ que é definida de duas formas:
- Para qualquer ponto diferente de
, ela é igual a . - No ponto
, ela vale 1.
O que a gente precisa descobrir aqui é se essa função é diferenciável no ponto
. Diferenciabilidade é um conceito de cálculo que, basicamente, diz se a função tem uma boa aproximação linear naquele ponto. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre limites e derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função é contínua no ponto
. Para uma função ser diferenciável, ela precisa ser contínua nesse ponto. Vamos calcular o limite de $ f(x, y) $ quando
se aproxima de
.
Passo 3
Para calcular
, podemos usar coordenadas polares. Vamos substituir
e
, onde
é a distância ao ponto
.
Passo 4
Substituindo na função:
Como
é limitado (sempre entre -1 e 1), o limite quando
de
é 0.
Passo 5
Vimos que
, mas
. Como o limite não coincide com o valor da função no ponto, a função não é contínua em
.
Passo 6
Já que a função não é contínua em
, ela não pode ser diferenciável nesse ponto. A diferenciabilidade exige continuidade, então infelizmente já podemos concluir por aqui.
Resposta
Não, a função $ f $ não é diferenciável no ponto
porque não é contínua nesse ponto.