Calcule as integrais indefinidas abaixo:
\int \frac{\log _{5} x}{x} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \frac{\log_{5} x}{x}\,dx.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A função integrada é \dfrac{\log_{5} x}{x}.
  • A notação \log_{5} x significa logaritmo de base 5.
  • A integral indefinida pede uma primitiva válida para x>0 (domínio natural do \log).

Passo 2

Trocar a base do logaritmo para facilitar a integração. Fórmula de mudança de base: para qualquer a>0, a\neq1,
\log_{a} x=\frac{\ln x}{\ln a},
onde \ln x é o logaritmo natural (base e). Aqui a=5, então
\log_{5} x=\frac{\ln x}{\ln 5}.
Substituindo na integral obtemos
\int \frac{\log_{5} x}{x}\,dx = \int \frac{1}{\ln 5}\cdot\frac{\ln x}{x}\,dx.
Como \dfrac{1}{\ln 5} é constante, podemos fatorá-la:
\int \frac{\log_{5} x}{x}\,dx = \frac{1}{\ln 5}\int \frac{\ln x}{x}\,dx.

Passo 3

Agora vamos integrar \displaystyle \int \frac{\ln x}{x}\,dx. Um método direto é a substituição simples:
  • Tome u=\ln x. Então du=\dfrac{1}{x}\,dx.
  • Observe que \dfrac{\ln x}{x}\,dx = u\,du.
Portanto
\int \frac{\ln x}{x}\,dx = \int u\,du = \frac{u^{2}}{2} + C = \frac{(\ln x)^{2}}{2} + C.

Passo 4

Voltando ao fator constante que tiramos antes, multiplicamos o resultado por \dfrac{1}{\ln 5}:
\int \frac{\log_{5} x}{x}\,dx = \frac{1}{\ln 5}\cdot\frac{(\ln x)^{2}}{2} + C = \frac{(\ln x)^{2}}{2\ln 5} + C.
Também podemos escrever a primitiva em termos de \log_{5} x se quisermos: usando \ln x=(\ln 5)\log_{5} x, temos
\frac{(\ln x)^{2}}{2\ln 5} = \frac{(\ln 5)^{2}(\log_{5} x)^{2}}{2\ln 5} = \frac{\ln 5}{2}\,(\log_{5} x)^{2}.
Ambas as formas são equivalentes (diferem apenas pela forma algébrica) e qualquer uma serve como antiderivada.

Resposta

\displaystyle \frac{(\ln x)^{2}}{2\ln 5} + C
\displaystyle \frac{\ln 5}{2}\,(\log_{5} x)^{2} + C

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