Calcule as integrais indefinidas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede a integral indefinida
Informações dadas e observações iniciais:
- A função integrada é
. - A notação
significa logaritmo de base . - A integral indefinida pede uma primitiva válida para
(domínio natural do ).
Passo 2
Trocar a base do logaritmo para facilitar a integração. Fórmula de mudança de base: para qualquer
,
,
onde
é o logaritmo natural (base
). Aqui
, então
Substituindo na integral obtemos
Como
é constante, podemos fatorá-la:
Passo 3
Agora vamos integrar
. Um método direto é a substituição simples:
- Tome
. Então . - Observe que
.
Portanto
Passo 4
Voltando ao fator constante que tiramos antes, multiplicamos o resultado por
:
Também podemos escrever a primitiva em termos de
se quisermos: usando
, temos
Ambas as formas são equivalentes (diferem apenas pela forma algébrica) e qualquer uma serve como antiderivada.