Resolva
x^{2} y^{\prime \prime}+2 x y^{\prime}-2 y=\frac{6}{x^{2}}+3 x ; x>0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x^{2}y''+2xy'-2y=\frac{6}{x^{2}}+3x,\qquad x>0.
O que se pede: encontrar a solução geral y(x) dessa equação diferencial para x>0.
Informações relevantes do enunciado:
\text{EQUAÇÃO: }x^{2}y''+2xy'-2y=\frac{6}{x^{2}}+3x.ÇÃ
O lado direito é a soma de duas funções: \dfrac{6}{x^{2}} e 3x. Vamos usar isso mais adiante para construir uma solução particular.

Passo 2

Vamos começar pela equação homogênea associada (ou seja, com o lado direito igual a zero):
x^{2}y''+2xy'-2y=0.
Uma técnica prática para equações com coeficientes que são potências de x é tentar uma solução do tipo y=x^{m} (essa tentativa é típica para equações de Euler–Cauchy). Substituindo y=x^{m} na equação homogênea, precisamos calcular y' e y'':
y=x^{m},\qquad y'=m x^{m-1},\qquad y''=m(m-1)x^{m-2}.
Agora substituímos na equação homogênea:
x^{2}\cdot m(m-1)x^{m-2}+2x\cdot m x^{m-1}-2x^{m}=0.
Simplificando os fatores x (todos têm x^{m}), obtemos um polinômio em m:
\bigl(m(m-1)+2m-2\bigr)x^{m}=0,
ou seja
p(m):=m^{2}+m-2=0.

Passo 3

Resolvendo a equação característica m^{2}+m-2=0:
m=\frac{-1\pm\sqrt{1+8}}{2}=\frac{-1\pm3}{2}.
Logo os dois valores são
m_{1}=1,\qquad m_{2}=-2.
Como são raízes distintas, a solução geral da homogênea é
y_{h}=C_{1}x^{1}+C_{2}x^{-2}=C_{1}x+C_{2}x^{-2},
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 4

Agora precisamos de uma solução particular y_{p} da equação completa. Observação importante: o lado direito é
\frac{6}{x^{2}}+3x=6x^{-2}+3x.
Cada termo do lado direito tem a mesma forma de uma solução da homogênea ( x^{-2} e x aparecem em y_{h}). Quando isso ocorre, temos ressonância e a forma usual de palpite precisa ser multiplicada por um fator \ln x.
Para equações de Euler, existe uma identidade útil: definindo p(m)=m^{2}+m-2, tem-se
L[x^{m}]=p(m)x^{m},
onde L[y]=x^{2}y''+2xy'-2y. E
L[x^{m}\ln x]=p(m)x^{m}\ln x + p'(m)x^{m},
onde p'(m) é a derivada de p em relação a m. Em particular, se m é raiz de p (ou seja p(m)=0), então
L[x^{m}\ln x]=p'(m)x^{m}.
Isso é exatamente o que precisamos usar porque m=1 e m=-2 são raízes de p.
Calculemos p'(m):
p'(m)=2m+1.
Para m=-2:
p'(-2)=2(-2)+1=-4+1=-3.
Para m=1:
p'(1)=2\cdot1+1=3.

Passo 5

Vamos construir y_{p} como soma de duas partes, uma para cada termo do lado direito, usando o fator \ln x por causa da ressonância:
y_{p}=A\,x^{-2}\ln x + B\,x\ln x,
com constantes A,B a determinar.
Aplicando o operador L nos termos usando a identidade acima e as derivadas de p:
Para y_{p1}=A x^{-2}\ln x, como m=-2 é raiz,
L[y_{p1}]=A\cdot p'(-2)x^{-2}=A\cdot(-3)x^{-2}=-3A x^{-2}.
Queremos que esse termo gere o termo 6x^{-2} do lado direito, logo
-3A x^{-2}=6x^{-2}\quad\Longrightarrow\quad -3A=6\quad\Longrightarrow\quad A=-2.
Para y_{p2}=B x\ln x, como m=1 é raiz,
L[y_{p2}]=B\cdot p'(1)x= B\cdot 3 x =3B x.
Queremos que esse termo gere o termo 3x do lado direito, logo
3B x=3x\quad\Longrightarrow\quad 3B=3\quad\Longrightarrow\quad B=1.

Passo 6

Portanto a solução particular é
y_{p}=-2x^{-2}\ln x + x\ln x.
Somando com a homogênea, obtemos a solução geral:
y(x)=C_{1}x + C_{2}x^{-2} + x\ln x -2x^{-2}\ln x,
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x)=C_{1}x + C_{2}x^{-2} + x\ln x -2x^{-2}\ln x

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