Resolva
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
O que se pede: encontrar a solução geral
dessa equação diferencial para
.
Informações relevantes do enunciado:
O lado direito é a soma de duas funções:
e
. Vamos usar isso mais adiante para construir uma solução particular.
Passo 2
Vamos começar pela equação homogênea associada (ou seja, com o lado direito igual a zero):
Uma técnica prática para equações com coeficientes que são potências de
é tentar uma solução do tipo
(essa tentativa é típica para equações de Euler–Cauchy). Substituindo
na equação homogênea, precisamos calcular
e
:
Agora substituímos na equação homogênea:
Simplificando os fatores
(todos têm
), obtemos um polinômio em
:
ou seja
Passo 3
Resolvendo a equação característica
:
Logo os dois valores são
Como são raízes distintas, a solução geral da homogênea é
onde
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Agora precisamos de uma solução particular
da equação completa. Observação importante: o lado direito é
Cada termo do lado direito tem a mesma forma de uma solução da homogênea (
e
aparecem em
). Quando isso ocorre, temos ressonância e a forma usual de palpite precisa ser multiplicada por um fator
.
Para equações de Euler, existe uma identidade útil: definindo
, tem-se
onde
. E
onde
é a derivada de
em relação a
. Em particular, se
é raiz de
(ou seja
), então
Isso é exatamente o que precisamos usar porque
e
são raízes de
.
Calculemos
:
Para
:
Para
:
Passo 5
Vamos construir
como soma de duas partes, uma para cada termo do lado direito, usando o fator
por causa da ressonância:
com constantes
a determinar.
Aplicando o operador
nos termos usando a identidade acima e as derivadas de
:
Para
, como
é raiz,
Queremos que esse termo gere o termo
do lado direito, logo
Para
, como
é raiz,
Queremos que esse termo gere o termo
do lado direito, logo
Passo 6
Portanto a solução particular é
Somando com a homogênea, obtemos a solução geral:
onde
são constantes arbitrárias.