Considere uma partícula se movendo em uma linha reta com posição x(t)= 5 t^2-3 t+2, onde x está em metros e t em segundos.
  • (b) Determine a aceleração da partícula como função do tempo t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema diz que a posição de uma partícula em uma linha reta é dada por , onde está em metros e em segundos. O que precisamos encontrar aqui é a aceleração da partícula em função do tempo . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para descobrir como a velocidade e a aceleração mudam com o tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja, se v(t) = dxdt é a posição, então a velocidade v(t) = ddt(5t^2 - 3t + 2) é dada por:
Vamos calcular essa derivada para a função dada:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada termo a termo:
  • A derivada de v(t) = 10t - 3 é (porque trazemos o expoente 2 para multiplicar pelo coeficiente 5 e diminuímos o expoente em 1).
  • A derivada de é (a derivada de é 1, então ).
  • A derivada de uma constante, como 2, é 0.
Então, juntando tudo:

Passo 4

Agora que temos a expressão para a velocidade, vamos encontrar a aceleração. A aceleração a(t) = dvdt é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
a(t) = ddt(10t - 3)
Vamos calcular essa derivada para :

Passo 5

Calculando a derivada:
  • A derivada de a(t) = 10 é 10 (já que a derivada de é 1).
  • A derivada de uma constante, como -3, é 0.
Então, a aceleração é:

Resposta

A aceleração da partícula é constante e igual a .

Exercícios relacionados