Considere uma partícula se movendo em uma linha reta com posição
, onde
está em metros e
em segundos.
- (b) Determine a aceleração da partícula como função do tempo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema diz que a posição de uma partícula em uma linha reta é dada por
, onde
está em metros e
em segundos. O que precisamos encontrar aqui é a aceleração da partícula em função do tempo
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para descobrir como a velocidade e a aceleração mudam com o tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja, se
é a posição, então a velocidade
é dada por:
Vamos calcular essa derivada para a função dada:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada termo a termo:
- A derivada de
é (porque trazemos o expoente 2 para multiplicar pelo coeficiente 5 e diminuímos o expoente em 1). - A derivada de
é (a derivada de é 1, então ). - A derivada de uma constante, como 2, é 0.
Então, juntando tudo:
Passo 4
Agora que temos a expressão para a velocidade, vamos encontrar a aceleração. A aceleração
é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Vamos calcular essa derivada para
:
Passo 5
Calculando a derivada:
- A derivada de
é 10 (já que a derivada de é 1). - A derivada de uma constante, como -3, é 0.
Então, a aceleração é:
Resposta
A aceleração da partícula é constante e igual a
.