Considere uma partícula se movendo em uma linha reta com posição x(t)= 5 t^2-3 t+2, onde x está em metros e t em segundos.
  • (a) Calcule a velocidade da partícula como função do tempo t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a posição de uma partícula dada por , onde é a posição em metros e é o tempo em segundos. Nosso objetivo aqui é calcular a velocidade dessa partícula em função do tempo . Para isso, vamos usar o cálculo diferencial, especificamente a derivada da posição em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo. Matemáticamente, isso significa que a velocidade é a derivada de em relação a .

Passo 3

Então, temos que:
v(t) = dx(t)dt
Vamos calcular essa derivada passo a passo.

Passo 4

Vamos derivar cada termo da função ddt(5t^2) = 2 times 5t^2-1 = 10t :
  1. Derivada de ddt(-3t) = -3 times 1t^1-1 = -3 :
    ddt(2) = 0
  2. Derivada de :
  3. Derivada de :
    Pois a derivada de uma constante é zero.

Passo 5

Agora, somando todas as derivadas:
v(t) = 10t - 3 + 0 = 10t - 3

Resposta

A velocidade da partícula em função do tempo é:
v(t) = 10t - 3 metros por segundo

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