Para um fluido incompressível em regime estacionário, a velocidade
é dada por
.
- (b) Determine o rotacional
do campo de velocidade.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um fluido incompressível que está parado no tempo (regime estacionário) e a velocidade desse fluido é dada pela função
. Nosso objetivo aqui é encontrar o rotacional desse campo de velocidade, ou seja, calcular
. Para isso, vamos precisar saber como calcular o rotacional de um campo vetorial em duas dimensões.
Passo 2
O rotacional de um campo vetorial é uma medida de quão “giro” ou “circulação” o campo tem em torno de um ponto. Em duas dimensões, o rotacional de um campo
é dado pela diferença entre as derivadas parciais das componentes. A fórmula para calcular o rotacional é:
Passo 3
Primeiro, vamos identificar as componentes do nosso campo de velocidade:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
- A derivada parcial de
em relação a :
- A derivada parcial de
em relação a :
Passo 5
Com as derivadas calculadas, substituímos na fórmula do rotacional:
Resposta
O rotacional do campo de velocidade é: