Para um fluido incompressível em regime estacionário, a velocidade v(x, y) é dada por v(x, y)=(3 x^2 y,-2 x y^2).
  • (b) Determine o rotacional nabla times v do campo de velocidade.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um fluido incompressível que está parado no tempo (regime estacionário) e a velocidade desse fluido é dada pela função v(x, y)=(3 x^2 y,-2 x y^2). Nosso objetivo aqui é encontrar o rotacional desse campo de velocidade, ou seja, calcular nabla times v. Para isso, vamos precisar saber como calcular o rotacional de um campo vetorial em duas dimensões.

Passo 2

O rotacional de um campo vetorial é uma medida de quão “giro” ou “circulação” o campo tem em torno de um ponto. Em duas dimensões, o rotacional de um campo v = (vx, vy) é dado pela diferença entre as derivadas parciais das componentes. A fórmula para calcular o rotacional é:
nabla times v = partial vypartial x - partial vxpartial y

Passo 3

Primeiro, vamos identificar as componentes do nosso campo de velocidade:
vx = 3x^2y vy = -2xy^2

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
  1. A derivada parcial de vy em relação a x:
partial vypartial x = partialpartial x (-2xy^2) = -2y^2
  1. A derivada parcial de vx em relação a y:
partial vxpartial y = partialpartial y (3x^2y) = 3x^2

Passo 5

Com as derivadas calculadas, substituímos na fórmula do rotacional:
nabla times v = partial vypartial x - partial vxpartial y = (-2y^2) - (3x^2) = -3x^2 - 2y^2

Resposta

O rotacional do campo de velocidade é:
nabla times v = -3x^2 - 2y^2

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