Considere uma partícula se movendo ao longo da curva parametrizada por \vec{\sigma}(t)= (t-\sin t, 1-\cos t), \quad t \in[0,2 \pi]. Determine a velocidade (escalar) máxima atingida pela partícula e o instante em que ela ocorre. Calcule a distância percorrida pela partícula.
Determinar a velocidade (escalar) máxima atingida pela partícula e o instante t em que essa velocidade máxima ocorre.
Calcular a distância total percorrida pela partícula no intervalo t\in[0,2\pi].
As informações relevantes são exatamente a expressão de \vec{\sigma}(t) e o intervalo de parâmetro t\in[0,2\pi]. Não faço mais nada neste passo além de listar o que é pedido e os dados fornecidos.
Passo 2
Primeiro passo para velocidade é achar a velocidade vetorial (derivada da trajetória). Derivamos componente a componente:
Derivada de t em relação a t é 1.
Derivada de -\sin t é -\cos t.
Derivada de 1 é 0.
Derivada de -\cos t é \sin t.
Logo a velocidade vetorial é
\vec{\sigma}'(t)=\big(1-\cos t,\;\sin t\big).
Passo 3
A velocidade escalar (módulo da velocidade vetorial) é
Verificações rápidas nas bordas: v(0)=2\sin0=0 e v(2\pi)=2\sin\pi=0, então o máximo interior é plausível.
Para confirmar que é máximo, podemos olhar a derivada:
Calculamos a primitiva. Uma primitiva de \sin\!\big(\tfrac{t}{2}\big) é -2\cos\!\big(\tfrac{t}{2}\big) (porque a derivada de \cos\!\big(\tfrac{t}{2}\big) é -\tfrac{1}{2}\sin\!\big(\tfrac{t}{2}\big)). Assim
S = \Big[-4\cos\!\big(\tfrac{t}{2}\big)\Big]_{0}^{2\pi} = -4\big(\cos\pi-\cos 0\big) = -4\big(-1-1\big)=8.
Passo 6
Resumo dos resultados calculados: a velocidade máxima encontrada é 2 e ocorre em t=\pi; a distância total percorrida no intervalo é 8. (Se quiser, pense que essa curva é a ciclóide gerada por um círculo de raio 1 e o comprimento de uma volta inteira dessa arco é conhecido ser 8, o que bate com nosso cálculo.)
Resposta
Velocidade máxima: 2 em t=\pi
Distância percorrida: 8