Considere uma partícula se movendo ao longo da curva parametrizada por \vec{\sigma}(t)= (t-\sin t, 1-\cos t), \quad t \in[0,2 \pi]. Determine a velocidade (escalar) máxima atingida pela partícula e o instante em que ela ocorre. Calcule a distância percorrida pela partícula.

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada
\vec{\sigma}(t)=\big(t-\sin t,\;1-\cos t\big),\qquad t\in[0,2\pi],
e pede duas coisas:
  1. Determinar a velocidade (escalar) máxima atingida pela partícula e o instante t em que essa velocidade máxima ocorre.
  2. Calcular a distância total percorrida pela partícula no intervalo t\in[0,2\pi].
As informações relevantes são exatamente a expressão de \vec{\sigma}(t) e o intervalo de parâmetro t\in[0,2\pi]. Não faço mais nada neste passo além de listar o que é pedido e os dados fornecidos.

Passo 2

Primeiro passo para velocidade é achar a velocidade vetorial (derivada da trajetória). Derivamos componente a componente:
  • Derivada de t em relação a t é 1.
  • Derivada de -\sin t é -\cos t.
  • Derivada de 1 é 0.
  • Derivada de -\cos t é \sin t.
Logo a velocidade vetorial é
\vec{\sigma}'(t)=\big(1-\cos t,\;\sin t\big).

Passo 3

A velocidade escalar (módulo da velocidade vetorial) é
v(t)=\big\|\vec{\sigma}'(t)\big\|=\sqrt{(1-\cos t)^2+\sin^2 t}.
Agora simplificamos a expressão dentro da raiz:
(1-\cos t)^2+\sin^2 t = 1-2\cos t+\cos^2 t+\sin^2 t = 2-2\cos t.
Portanto
v(t)=\sqrt{2-2\cos t}.
Usamos a identidade trigonométrica \;1-\cos t=2\sin^2\!\big(\tfrac{t}{2}\big)\; para reescrever:
v(t)=\sqrt{4\sin^2\!\big(\tfrac{t}{2}\big)}=2\big|\sin\!\big(\tfrac{t}{2}\big)\big|.
Como t\in[0,2\pi] temos \tfrac{t}{2}\in[0,\pi], e aí \sin\!\big(\tfrac{t}{2}\big)\ge0. Logo podemos remover o valor absoluto:
v(t)=2\sin\!\big(\tfrac{t}{2}\big),\qquad t\in[0,2\pi].

Passo 4

Agora encontramos o máximo de v(t)=2\sin\!\big(\tfrac{t}{2}\big) no intervalo [0,2\pi].
  • A função \sin é máxima igual a 1 quando seu argumento é \tfrac{\pi}{2} mais múltiplos de 2\pi. No nosso intervalo o único ponto que interessa é quando
\tfrac{t}{2}=\tfrac{\pi}{2}\quad\Rightarrow\quad t=\pi.
  • Verificações rápidas nas bordas: v(0)=2\sin0=0 e v(2\pi)=2\sin\pi=0, então o máximo interior é plausível.
    Para confirmar que é máximo, podemos olhar a derivada:
v'(t)=2\cdot\frac{1}{2}\cos\!\big(\tfrac{t}{2}\big)=\cos\!\big(\tfrac{t}{2}\big),
que se anula em t=\pi; a segunda derivada é
v''(t)=-\tfrac{1}{2}\sin\!\big(\tfrac{t}{2}\big),
e em t=\pi temos v''(\pi)=-\tfrac{1}{2}<0, confirmando máximo local (e global aqui).
Portanto a velocidade máxima é
\max_{[0,2\pi]} v(t)=v(\pi)=2\sin\!\big(\tfrac{\pi}{2}\big)=2,
ocorrendo no instante t=\pi.

Passo 5

Agora calculamos a distância percorrida: é o comprimento da curva entre t=0 e t=2\pi,
S=\int_{0}^{2\pi} v(t)\,dt=\int_{0}^{2\pi} 2\sin\!\big(\tfrac{t}{2}\big)\,dt.
Calculamos a primitiva. Uma primitiva de \sin\!\big(\tfrac{t}{2}\big) é -2\cos\!\big(\tfrac{t}{2}\big) (porque a derivada de \cos\!\big(\tfrac{t}{2}\big) é -\tfrac{1}{2}\sin\!\big(\tfrac{t}{2}\big)). Assim
\int 2\sin\!\big(\tfrac{t}{2}\big)\,dt = -4\cos\!\big(\tfrac{t}{2}\big).
Avaliação nos limites:
S = \Big[-4\cos\!\big(\tfrac{t}{2}\big)\Big]_{0}^{2\pi} = -4\big(\cos\pi-\cos 0\big) = -4\big(-1-1\big)=8.

Passo 6

Resumo dos resultados calculados: a velocidade máxima encontrada é 2 e ocorre em t=\pi; a distância total percorrida no intervalo é 8. (Se quiser, pense que essa curva é a ciclóide gerada por um círculo de raio 1 e o comprimento de uma volta inteira dessa arco é conhecido ser 8, o que bate com nosso cálculo.)

Resposta

Velocidade máxima: 2 em t=\pi
Distância percorrida: 8

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