(Lançamento oblíquo) Descreva a posição
de um projétil após um lançamento oblíquo, onde o ângulo com a horizontal é de
e a velocidade inicial é
. Apresente a equação cartesiana da trajetória dessa partícula até ela atingir o solo.
Passo 1
Enunciado e dados fornecidos (o que é pedido e o que temos):
- Foi feito um lançamento oblíquo com ângulo inicial de
em relação à horizontal. - A velocidade inicial tem magnitude
(unidades: ). - Pede-se a posição vetorial
do projétil após o lançamento. - Pede-se também a equação cartesiana da trajetória (ou seja,
em função de ) da partícula até ela atingir o solo. - Assumo que o lançamento ocorre a partir do solo no instante inicial, ou seja, posição inicial
(ou ). - A aceleração da gravidade é
dirigida para baixo (valor usual , mas mantemos o símbolo para fórmulas).
Passo 2
Decomposição da velocidade inicial em componentes horizontal e vertical — por que e como fazer isso:
- A velocidade inicial
forma ângulo com a horizontal. - Em problemas de movimento sob gravidade, é útil separar movimento em duas direções independentes: horizontal (sem aceleração, se desconsiderarmos resistência do ar) e vertical (com aceleração
). - As componentes da velocidade inicial são obtidas usando funções trigonométricas:
- componente horizontal:
, - componente vertical:
.
- componente horizontal:
- Substituindo
: -
, então -
, então
-
Passo 3
Equações do movimento em cada direção — lembrar as fórmulas e explicar variáveis:
- Para o eixo
(horizontal): não há aceleração (assumindo ar desprezível), portanto a posição horizontal cresce linearmente com o tempo: Aqui (lançamento da origem) e . - Para o eixo
(vertical): há aceleração constante . A equação da posição vertical é Aqui e . - Explicação das variáveis:
-
é o tempo após o lançamento (em segundos). -
e são as componentes horizontal e vertical da velocidade inicial. -
é a aceleração gravitacional (positiva como módulo; o sinal negativo aparece na equação vertical).
-
Passo 4
Substituir os valores das componentes em
e
para obter a posição vetorial explícita:
- Substituindo
em : - Substituindo
em : - Portanto a posição vetorial pedida é
com e dados acima. Aqui .
Passo 5
Eliminação de
para obter a equação cartesiana
— passo a passo algébrico:
- A partir de
isolamos : - Substituímos esse
em : - Simplificamos termo a termo:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Primeiro termo:
- Assim obtemos a equação da trajetória:
- Observação prática: trata-se de uma parábola aberta para baixo (coeficiente do
negativo), como era esperado para um projétil.
Passo 6
Intervalo de validade (até atingir o solo) — encontrar o tempo de queda e o alcance horizontal:
- O projétil atinge o solo quando
. Usamos a expressão . - Factorizando
: As soluções são (instante inicial) e - O alcance horizontal
é no instante : - Portanto a trajetória cartesiana
vale para (ou equivalentemente para ).
Passo 7
Resumo final e dicas rápidas para a prova (como lembrar e aplicar estas fórmulas):
- Para qualquer lançamento oblíquo a partir da origem:
- decomponha
em e ; - escreva
e ; - elimine
por para obter .
- decomponha
- No caso
isso simplifica muito porque e , levando à forma simples que já achamos. - Você consegue decorar a forma geral e, em prova, basta substituir o ângulo e simplificar como fizemos.