Nos itens abaixo, considere
como sendo a posição de uma partícula no instante
. Determine em cada caso o vetor velocidade, o vetor aceleração e a velocidade escalar no instante
indicado:
.
Passo 1
O enunciado dá a posição da partícula e pede três coisas no instante
:
Perguntas:
- Determinar o vetor velocidade
. - Determinar o vetor aceleração
. - Determinar a velocidade escalar (módulo da velocidade) no instante
.
Informações relevantes fornecidas:
- A posição está dada componente a componente:
, , . - O instante onde queremos os valores é
.
Passo 2
Conceito e regra para obter o vetor velocidade: se
, então o vetor velocidade é a derivada componente a componente,
Regras de derivação úteis aqui (cadeia e derivadas básicas):
-
. -
. -
para constante .
Aplicando isso a cada componente:
- Para
: . - Para
: . - Para
: .
Logo,
Passo 3
Conceito e regra para obter o vetor aceleração: a aceleração é a derivada do vetor velocidade,
Derivamos cada componente de
:
- Para
: . - Para
: . - Para
: .
Portanto,
Passo 4
Conceito de velocidade escalar: é o módulo (norma) do vetor velocidade. Para
,
Aqui, usando
, temos a expressão
Usamos a identidade trigonométrica
para simplificar:
Observação importante: a expressão mostra que a velocidade escalar é constante (independe de
) e vale
para todo
. Mas ainda assim vamos avaliar os vetores no
.
Passo 5
Avaliação em
. Primeiro calcule
. Sabemos os valores trigonométricos:
Agora substituímos nas expressões já obtidas.
Vetor velocidade:
Vetor aceleração:
Velocidade escalar no instant
:
Como mostramos no Passo 4, para todo
, logo
Como mostramos no Passo 4,