Nos itens abaixo, considere \vec{\sigma}(t) como sendo a posição de uma partícula no instante t. Determine em cada caso o vetor velocidade, o vetor aceleração e a velocidade escalar no instante t_{0} indicado:
\vec{\sigma}(t)=(3 \cos 2 t, 3 \sin 2 t, 8 t), \quad t_{0}=\pi / 8.

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula e pede três coisas no instante t_{0}:
\vec{\sigma}(t) = (3\cos 2t,\; 3\sin 2t,\; 8t), \qquad t_{0}=\pi/8.
Perguntas:
  1. Determinar o vetor velocidade \vec{v}(t_{0}).
  2. Determinar o vetor aceleração \vec{a}(t_{0}).
  3. Determinar a velocidade escalar (módulo da velocidade) no instante t_{0}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A posição está dada componente a componente: x(t)=3\cos 2t, y(t)=3\sin 2t, z(t)=8t.
  • O instante onde queremos os valores é t_{0}=\pi/8.

Passo 2

Conceito e regra para obter o vetor velocidade: se \vec{\sigma}(t)=(x(t),y(t),z(t)), então o vetor velocidade é a derivada componente a componente,
\vec{v}(t)=\vec{\sigma}'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t)).
Regras de derivação úteis aqui (cadeia e derivadas básicas):
  • \dfrac{d}{dt}\cos(kt) = -k\sin(kt).
  • \dfrac{d}{dt}\sin(kt) = k\cos(kt).
  • \dfrac{d}{dt}(ct) = c para constante c.
Aplicando isso a cada componente:
  • Para x(t)=3\cos 2t: x'(t)=3\cdot \dfrac{d}{dt}\cos 2t = 3\cdot(-2\sin 2t) = -6\sin 2t.
  • Para y(t)=3\sin 2t: y'(t)=3\cdot \dfrac{d}{dt}\sin 2t = 3\cdot(2\cos 2t) = 6\cos 2t.
  • Para z(t)=8t: z'(t)=8.
Logo,
\vec{v}(t)=(-6\sin 2t,\; 6\cos 2t,\; 8).

Passo 3

Conceito e regra para obter o vetor aceleração: a aceleração é a derivada do vetor velocidade,
\vec{a}(t)=\vec{v}'(t)=(v_x'(t),v_y'(t),v_z'(t)).
Derivamos cada componente de \vec{v}(t):
  • Para v_x(t)=-6\sin 2t: v_x'(t)=-6\cdot \dfrac{d}{dt}\sin 2t = -6\cdot(2\cos 2t) = -12\cos 2t.
  • Para v_y(t)=6\cos 2t: v_y'(t)=6\cdot \dfrac{d}{dt}\cos 2t = 6\cdot(-2\sin 2t) = -12\sin 2t.
  • Para v_z(t)=8: v_z'(t)=0.
Portanto,
\vec{a}(t)=(-12\cos 2t,\; -12\sin 2t,\; 0).

Passo 4

Conceito de velocidade escalar: é o módulo (norma) do vetor velocidade. Para \vec{v}(t)=(v_x,v_y,v_z),
\text{velocidade escalar } s(t)=\|\vec{v}(t)\|=\sqrt{v_x(t)^2+v_y(t)^2+v_z(t)^2}.
Aqui, usando \vec{v}(t)=(-6\sin 2t,\;6\cos 2t,\;8), temos a expressão
s(t)=\sqrt{(-6\sin 2t)^2+(6\cos 2t)^2+8^2} =\sqrt{36\sin^2 2t + 36\cos^2 2t + 64}.
Usamos a identidade trigonométrica \sin^2\theta+\cos^2\theta=1 para simplificar:
s(t)=\sqrt{36(\sin^2 2t+\cos^2 2t)+64}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10.
Observação importante: a expressão mostra que a velocidade escalar é constante (independe de t) e vale 10 para todo t. Mas ainda assim vamos avaliar os vetores no t_{0}.

Passo 5

Avaliação em t_{0}=\pi/8. Primeiro calcule 2t_{0}=2\cdot\pi/8=\pi/4. Sabemos os valores trigonométricos:
\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Agora substituímos nas expressões já obtidas.
Vetor velocidade:
\vec{v}(t_{0}) = (-6\sin\pi/4,\;6\cos\pi/4,\;8) = \Big(-6\cdot\frac{\sqrt{2}}{2},\;6\cdot\frac{\sqrt{2}}{2},\;8\Big) = (-3\sqrt{2},\;3\sqrt{2},\;8).
Vetor aceleração:
\vec{a}(t_{0}) = (-12\cos\pi/4,\;-12\sin\pi/4,\;0) = \Big(-12\cdot\frac{\sqrt{2}}{2},\;-12\cdot\frac{\sqrt{2}}{2},\;0\Big) = (-6\sqrt{2},\;-6\sqrt{2},\;0).
Velocidade escalar no instant t_{0}:
Como mostramos no Passo 4, s(t)=10 para todo t, logo
s(t_{0})=10.

Resposta

\vec{v}(t_{0}) = (-3\sqrt{2},\;3\sqrt{2},\;8)
\vec{a}(t_{0}) = (-6\sqrt{2},\;-6\sqrt{2},\;0)
\text{velocidade escalar em } t_{0} = 10

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