Suponha que \vec{\sigma}(t)=R \cos (\theta(t)) \mathbf{i}+R \sin (\theta(t)) \mathbf{j}, t \in I, é a posição de uma partícula que realiza um movimento circular, sendo \vec{\sigma}^{\prime}(t) \neq \overrightarrow{0} para todo t \in I. Descreva o vetor tangente unitário e o vetor normal principal à curva. Descreva as componentes tangencial e normal do vetor aceleração em função da velocidade escalar v(t)= \left\|\vec{\sigma}^{\prime}(t)\right\|.

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula
\vec{\sigma}(t)=R\cos(\theta(t))\,\mathbf{i}+R\sin(\theta(t))\,\mathbf{j},\quad t\in I,
com R>0 constante e \vec{\sigma}^{\prime}(t)\neq\overrightarrow{0} para todo t. Também definem a velocidade escalar
v(t)=\left\|\vec{\sigma}^{\prime}(t)\right\|.
O que nos pedem:
  1. descrever o vetor tangente unitário \mathbf{T}(t);
  2. descrever o vetor normal principal \mathbf{N}(t);
  3. escrever as componentes tangencial e normal do vetor aceleração em função de v(t).
Informações relevantes extraídas do enunciado: a curva é um círculo de raio R centrado na origem, a posição usa o ângulo \theta(t) que depende do tempo, e a velocidade escalar v(t) é a norma de \vec{\sigma}'(t).

Passo 2

Calcular a velocidade vetorial \vec{\sigma}'(t) e relacioná‑la com v(t).
Derivando componente a componente (usando a regra da cadeia: \frac{d}{dt}\cos(\theta(t))=-\sin(\theta(t))\theta'(t), etc.) obtemos
\vec{\sigma}'(t)=R\theta'(t)\bigl(-\sin(\theta(t))\,\mathbf{i}+\cos(\theta(t))\,\mathbf{j}\bigr).
Agora a velocidade escalar é a norma dessa velocidade:
v(t)=\bigl\|\vec{\sigma}'(t)\bigr\|=\bigl|R\theta'(t)\bigr|=R\,\bigl|\theta'(t)\bigr|.
Aqui \theta'(t)=\dfrac{d\theta}{dt}. Note que v(t)\ge0 por definição, e a relação inversa é \bigl(\theta'(t)\bigr)^2=\bigl(v(t)/R\bigr)^2; em particular \dfrac{\theta'(t)}{v(t)}=\dfrac{\operatorname{sgn}(\theta'(t))}{R} quando necessário.

Passo 3

Construir o vetor tangente unitário \mathbf{T}(t).
Definição prática: o vetor tangente unitário é a velocidade vetorial normalizada,
\mathbf{T}(t)=\frac{\vec{\sigma}'(t)}{v(t)}.
Substituindo \vec{\sigma}' e v,
\mathbf{T}(t)=\frac{R\theta'(t)}{v(t)}\bigl(-\sin(\theta(t))\,\mathbf{i}+\cos(\theta(t))\,\mathbf{j}\bigr).
Como v(t)=R|\theta'(t)|, a razão \dfrac{R\theta'(t)}{v(t)}=\dfrac{\theta'(t)}{|\theta'(t)|}=\operatorname{sgn}(\theta'(t)). Portanto, explicitando a orientação:
  • Se \theta'(t)>0 (movimento anti‑horário),
\mathbf{T}(t)=-\sin(\theta(t))\,\mathbf{i}+\cos(\theta(t))\,\mathbf{j}.
  • Se \theta'(t)<0 (movimento horário),
\mathbf{T}(t)=\sin(\theta(t))\,\mathbf{i}-\cos(\theta(t))\,\mathbf{j}.
Observação prática: a forma compacta e válida em todos os casos é
\mathbf{T}(t)=\frac{\vec{\sigma}'(t)}{v(t)}.

Passo 4

Determinar o vetor normal principal \mathbf{N}(t).
Definição prática: \mathbf{N}(t)=\dfrac{\mathbf{T}'(t)}{\|\mathbf{T}'(t)\|}. Em curvas planas é comum usar os vetores radiais:
defina o versor radial
\mathbf{e}_r(t)=\cos(\theta(t))\,\mathbf{i}+\sin(\theta(t))\,\mathbf{j}
e o versor tangencial ortogonal
\mathbf{e}_\theta(t)=-\sin(\theta(t))\,\mathbf{i}+\cos(\theta(t))\,\mathbf{j}.
Já vimos que, para \theta'(t)>0, \mathbf{T}=\mathbf{e}_\theta; para \theta'(t)<0, \mathbf{T}=-\mathbf{e}_\theta. Calculando \mathbf{T}' (ou usando derivadas de \mathbf{e}_\theta) resulta que \mathbf{T}' é proporcional a -\mathbf{e}_r (isto é, aponta para o centro do círculo) e sua norma é |\theta'(t)|. Portanto o vetor normal unitário, que aponta para o centro do círculo, é
\mathbf{N}(t)=-\mathbf{e}_r(t)=-\cos(\theta(t))\,\mathbf{i}-\sin(\theta(t))\,\mathbf{j}.
Essa expressão é independente do sinal de \theta'(t): o normal principal aponta sempre para dentro do círculo (para o centro).

Passo 5

Calcular a aceleração \vec{\sigma}''(t) e decompor em componentes tangencial e normal usando v(t).
Já derivamos \vec{\sigma}'(t)=R\theta'(t)\mathbf{e}_\theta(t). Diferenciando novamente, aplicando a regra do produto e a derivada de \mathbf{e}_\theta ( \frac{d}{dt}\mathbf{e}_\theta=-\theta'(t)\mathbf{e}_r), temos
\vec{\sigma}''(t)=R\theta''(t)\mathbf{e}_\theta(t)+R\bigl(\theta'(t)\bigr)^2(-\mathbf{e}_r(t)).
Agora relacionamos com v(t). Lembremos que v(t)=R|\theta'(t)|. A componente tangencial (vetor) é a parte paralela a \mathbf{T}; a componente normal (vetor) é a parte paralela a \mathbf{N}.
  • Componente tangencial: usar que \mathbf{e}_\theta tem a mesma direção de \mathbf{T} exceto possivelmente um sinal; mas de forma geral a magnitude da componente tangencial é v'(t)=\dfrac{d}{dt}v(t). Podemos verificar algebraicamente: R\theta''(t)\mathbf{e}_\theta(t)=v'(t)\mathbf{T}(t). De fato, como v(t)=R|\theta'(t)|, derivando obtemos v'(t)=R\,\operatorname{sgn}(\theta'(t))\,\theta''(t), e isso coincide com a projeção do termo R\theta''\mathbf{e}_\theta sobre \mathbf{T}. Portanto a componente tangencial é
\vec{a}_{\mathrm{tan}}(t)=v'(t)\,\mathbf{T}(t).
  • Componente normal: o segundo termo R(\theta')^2(-\mathbf{e}_r) é a parte normal que aponta para o centro. A sua magnitude pode ser escrita em função de v(t) usando (\theta')^2=(v(t)^2)/R^2. Assim a magnitude normal é
R\bigl(\theta'(t)\bigr)^2=\frac{v(t)^2}{R}.
Como -\mathbf{e}_r(t)=\mathbf{N}(t), a componente normal vetorial é
\vec{a}_{\mathrm{nor}}(t)=\frac{v(t)^2}{R}\,\mathbf{N}(t).
Juntando os dois termos obtemos a decomposição clássica da aceleração:
\vec{\sigma}''(t)=v'(t)\,\mathbf{T}(t)+\frac{v(t)^2}{R}\,\mathbf{N}(t).

Passo 6

Resumo didático e interpretação (para usar na prova).
  • O vetor tangente unitário é simplesmente a velocidade vetorial normalizada: \mathbf{T}=\dfrac{\vec{\sigma}'}{v}. Em termos de \theta: \mathbf{T}(t)=\dfrac{R\theta'(t)}{v(t)}\bigl(-\sin\theta(t)\,\mathbf{i}+\cos\theta(t)\,\mathbf{j}\bigr); quando \theta'(t)>0 isso fica -\sin\theta\,\mathbf{i}+\cos\theta\,\mathbf{j}.
  • O normal principal aponta para o centro do círculo: \mathbf{N}(t)=-\cos\theta(t)\,\mathbf{i}-\sin\theta(t)\,\mathbf{j}.
  • A aceleração se decompõe em tangencial (variação da velocidade escalar) e normal (curvatura): \vec{\sigma}''(t)=v'(t)\mathbf{T}(t)+\dfrac{v(t)^2}{R}\mathbf{N}(t). Aqui v'(t) é a derivada de v e \dfrac{v^2}{R} é a aceleração centrípeta (normal) para movimento circular.

Resposta

\mathbf{T}(t)=\frac{\vec{\sigma}'(t)}{v(t)}=\frac{R\theta'(t)}{v(t)}\bigl(-\sin(\theta(t))\,\mathbf{i}+\cos(\theta(t))\,\mathbf{j}\bigr)
\mathbf{N}(t)=-\cos(\theta(t))\,\mathbf{i}-\sin(\theta(t))\,\mathbf{j}
\vec{\sigma}''(t)=v'(t)\,\mathbf{T}(t)+\frac{v(t)^2}{R}\,\mathbf{N}(t)

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