Considere uma partícula se movendo ao longo de um eixo x e cuja posição varia no tempo de acordo com a função horária x=12 t-7 t^{2}+t^{3}, onde x é medido em metros e t em segundos. Determine: a) as posições da partícula nos instantes inicial, t=2 s e t=6 s; b) a velocidade média entre os instantes t=2 s e t=6 s; c) os instantes que partícula passa pela origem.
( Resp. a ) x=0 ; x=4 m, x=36 m ; b) 8 m / s ; c) t=0, t=3 s, t=4 s )

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula em função do tempo pela lei \,x(t)=12\,t-7\,t^{2}+t^{3}\,, onde \,x está em metros e \,t em segundos. As perguntas são:
a) Calcular as posições nos instantes inicial, \,t=2\\ \text{s} e \,t=6\\ \text{s}.
b) Calcular a velocidade média entre \,t=2\\ \text{s} e \,t=6\\ \text{s}.
c) Determinar os instantes em que a partícula passa pela origem (ou seja, achar \,t tal que \,x(t)=0).

Passo 2

Vamos calcular a posição no instante inicial \,t=0. Substituir \,t=0 em \,x(t):
x(0)=12\cdot 0 -7\cdot 0^{2} + 0^{3}.
Todo termo contém fator \,0, portanto
x(0)=0.
Interpretação rápida: no instante inicial a partícula está na origem.

Passo 3

Agora a posição em \,t=2\\ \text{s}. Substituímos \,t=2 em \,x(t):
x(2)=12\cdot 2 -7\cdot 2^{2} + 2^{3}.
Calculemos passo a passo: \,12\cdot 2=24. \,2^{2}=4 então \,-7\cdot 4=-28. \,2^{3}=8. Somando:
x(2)=24 -28 +8.
Primeiro 24-28=-4. Depois -4+8=4. Logo
x(2)=4\\ \text{m}.

Passo 4

Agora a posição em \,t=6\\ \text{s}. Substituímos \,t=6 em \,x(t):
x(6)=12\cdot 6 -7\cdot 6^{2} + 6^{3}.
Calculemos: \,12\cdot 6=72. \,6^{2}=36 então -7\cdot 36=-252. \,6^{3}=216. Somando:
x(6)=72 -252 +216.
Primeiro 72-252=-180. Depois -180+216=36. Portanto
x(6)=36\\ \text{m}.

Passo 5

Agora a velocidade média entre \,t=2 e \,t=6. Definição: a velocidade média em um intervalo de tempo é a variação da posição dividida pela variação do tempo. Em fórmulas,
\bar v=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{x(t_{2})-x(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}.
Aqui \,t_{1}=2 e \,t_{2}=6. Já temos \,x(6)=36\\ \text{m} e \,x(2)=4\\ \text{m}. Então
\Delta x = x(6)-x(2)=36-4=32\\ \text{m},
\Delta t = 6-2=4\\ \text{s}.
Dividindo:
\bar v=\frac{32\\ \text{m}}{4\\ \text{s}}=8\\ \text{m/s}.
Observação de unidade: metros sobre segundos, \,\text{m/s}, é a unidade correta para velocidade.

Passo 6

Por fim, os instantes em que a partícula passa pela origem: resolver \,x(t)=0. Escrevemos a equação
t^{3}-7t^{2}+12t=0,
obtida rearranjando \,x(t)=12t-7t^{2}+t^{3}=0. Note que todos os termos têm fator \,t, então fatoramos:
t(t^{2}-7t+12)=0.
Agora resolvemos cada fator igual a zero. O primeiro dá imediatamente
t=0.
O segundo é uma quadrática; fatoramos t^{2}-7t+12. Procuramos dois números que multiplicados dão 12 e somados dão -7: são -3 e -4. Então
t^{2}-7t+12=(t-3)(t-4).
Portanto os zeros são
t=3\quad\text{e}\quad t=4.
Conclusão: as soluções são \,t=0,\\ t=3,\\ t=4 (todos em segundos). Como tempos negativos não aparecem aqui, todos esses são instantes físicos válidos.

Passo 7

Resumo final dos resultados (já calculados): posições solicitadas, velocidade média e instantes em que a partícula passa pela origem.

Resposta

a) x(0)=0,\; x(2)=4\\ \text{m},\; x(6)=36\\ \text{m}
b) \bar v=8\\ \text{m/s}
c) t=0,\; t=3\\ \text{s},\; t=4\\ \text{s}

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