Considere uma partícula se movendo ao longo de um eixo x e cuja posição varia no tempo de acordo com a função horária
, onde x é medido em metros e t em segundos. Determine: a) as posições da partícula nos instantes inicial,
e
; b) a velocidade média entre os instantes
e
; c) os instantes que partícula passa pela origem.
Resp. a
)
Passo 1
O enunciado dá a posição da partícula em função do tempo pela lei
, onde
está em metros e
em segundos. As perguntas são:
a) Calcular as posições nos instantes inicial, e
.
b) Calcular a velocidade média entre e
.
c) Determinar os instantes em que a partícula passa pela origem (ou seja, achar tal que
).
a) Calcular as posições nos instantes inicial,
b) Calcular a velocidade média entre
c) Determinar os instantes em que a partícula passa pela origem (ou seja, achar
Passo 2
Vamos calcular a posição no instante inicial
. Substituir
em
:
Todo termo contém fator
, portanto
Interpretação rápida: no instante inicial a partícula está na origem.
Passo 3
Agora a posição em
. Substituímos
em
:
Calculemos passo a passo:
.
então
.
. Somando:
Primeiro
. Depois
. Logo
Passo 4
Agora a posição em
. Substituímos
em
:
Calculemos:
.
então
.
. Somando:
Primeiro
. Depois
. Portanto
Passo 5
Agora a velocidade média entre
e
. Definição: a velocidade média em um intervalo de tempo é a variação da posição dividida pela variação do tempo. Em fórmulas,
Aqui
e
. Já temos
e
. Então
Dividindo:
Observação de unidade: metros sobre segundos,
, é a unidade correta para velocidade.
Passo 6
Por fim, os instantes em que a partícula passa pela origem: resolver
. Escrevemos a equação
obtida rearranjando
. Note que todos os termos têm fator
, então fatoramos:
Agora resolvemos cada fator igual a zero. O primeiro dá imediatamente
O segundo é uma quadrática; fatoramos
. Procuramos dois números que multiplicados dão
e somados dão
: são
e
. Então
Portanto os zeros são
Conclusão: as soluções são
(todos em segundos). Como tempos negativos não aparecem aqui, todos esses são instantes físicos válidos.
Passo 7
Resumo final dos resultados (já calculados): posições solicitadas, velocidade média e instantes em que a partícula passa pela origem.
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)