Considere uma partícula com número quântico n movendo em uma caixa unidimensional de tamanho L.
(a) Determine a probabilidade de encontrar a partícula em L / 4.
(b) Para qual valor de n esta probabilidade é um máximo ?

Passo 1

O enunciado descreve uma partícula num poço infinito unidimensional de largura L no estado quântico n. Vamos usar a função de onda estacionária desse sistema e a densidade de probabilidade para achar a probabilidade de encontrar a partícula em x=L/4.

Passo 2

A função de onda normalizada em 0<x<L é
psin(x)=raiz2Lsin!l(npi xLr),
portanto a densidade de probabilidade é
|psin(x)|^2=2Lsin^2!l(npi xLr)

Passo 3

Ao avaliar em x=L/4 obtemos
Pl(x=tfracL4r) =|psin(L/4)|^2 =2L,sin^2!l(npi4r)

Passo 4

Para maximizar essa probabilidade em função de n, basta maximizar sin^2(npi/4). Sabemos que sin^2theta atinge o valor máximo 1 quando
theta=pi2+mpi, minZ
Aqui theta=tfracnpi4, logo
npi4=pi2+mpi

Passo 5

Da condição acima segue
n4=12+m Longrightarrow n=2+4m, minZ
Como n é inteiro positivo, os valores que tornam a probabilidade máxima são
n=2,6,10,dots
e o menor valor é n=2.

Resposta

(a) P(L/4)=2L,sin^2!l(tfracnpi4r).
(b) Essa probabilidade é máxima para n=2+4m (minZ>=0), sendo o menor n=2.

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