Exercício 3) Determinar os pontos críticos das funções dadas e verificar quais são de máximo e quais são de mínimo nos casos: ;
Passo 1
O enunciado pede pra encontrar os pontos críticos de
e então classificar cada um como máximo ou mínimo. Para isso vamos usar cálculo de derivadas parciais para achar onde o gradiente some e depois analisar a matriz Hessiana para ver se esses pontos são máximos ou mínimos.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de :
Para ponto crítico, igualamos ao vetor nulo:
logo
Então há um único ponto crítico em .
Passo 3
Agora montamos a matriz Hessiana de segunda derivadas:
Para classificar, olhamos os menores principais:
D1 = -4 < 0, D2 = (-4)cdot(-6) - 0 = 24 > 0
Quando D1<0 e D2>0, a Hessiana é negativa definida, indicando que (0,0) é um ponto de máximo local.]
Passo 4
Como f(x,y) é uma forma quadrática estritamente negativa fora de (0,0), esse máximo local em (0,0) é também global.
Resposta
O único ponto crítico é (0,0), e esse ponto é de máximo.