Exercício 3) Determinar os pontos críticos das funções dadas e verificar quais são de máximo e quais são de mínimo nos casos:
f(x, y)=5-2 x^2-3 y^2;

Passo 1

O enunciado pede pra encontrar os pontos críticos de
f(x,y) = 5 - 2x^2 - 3y^2
e então classificar cada um como máximo ou mínimo. Para isso vamos usar cálculo de derivadas parciais para achar onde o gradiente some e depois analisar a matriz Hessiana para ver se esses pontos são máximos ou mínimos.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
partial fpartial x = -4x, partial fpartial y = -6y
Para ponto crítico, igualamos ao vetor nulo:
-4x = 0, -6y = 0
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x = 0, y = 0
Então há um único ponto crítico em (0,0).

Passo 3

Agora montamos a matriz Hessiana de segunda derivadas:
H = partial^2 fpartial x^2 & partial^2 fpartial xpartial y[6pt] partial^2 fpartial ypartial x & partial^2 fpartial y^2 = -4 & 0 0 & -6
Para classificar, olhamos os menores principais:
D1 = -4 < 0, D2 = (-4)cdot(-6) - 0 = 24 > 0
Quando D1<0 e D2>0, a Hessiana é negativa definida, indicando que (0,0) é um ponto de máximo local.]

Passo 4

Como f(x,y) é uma forma quadrática estritamente negativa fora de (0,0), esse máximo local em (0,0) é também global.

Resposta

O único ponto crítico é (0,0), e esse ponto é de máximo.

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