Considere o sólido de revolução formado pela rotação, em torno do eixo x, da região limitada pela curva y=raiz4+2 x e pelas retas x=0, y=0 e x=c, com c>0. Para qual valor de c o volume será de 21 pi unidades cúbicas?

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno do eixo x, a região limitada por y=raiz4+2x, y=0, x=0 e x=c. O conteúdo aqui é sólidos de revolução e vamos usar o método dos discos, em que
V = pi integrala^b l(y(x)r)^2 ,dx

Passo 2

Aplicando ao nosso caso, os limites são a=0 e b=c e y(x)=raiz4+2x. Logo,
V(c) = pi integral0^c l(raiz4+2xr)^2 ,dx

Passo 3

Como l(raiz4+2xr)^2 = 4 + 2x, temos
V(c) = pi integral0^c l(4 + 2xr) ,dx

Passo 4

Calculando a integral:
integral0^c l(4 + 2xr),dx = l[4x + x^2r]0^c = 4c + c^2
Portanto
V(c) = pil(4c + c^2r)

Passo 5

Queremos V(c)=21pi, ou seja,
4c + c^2 = 21 Longrightarrow c^2 + 4c - 21 = 0
Resolvendo essa equação de segundo grau:
c = -4 pm raiz4^2 - 4cdot1cdot(-21)2 = -4 pm raiz16 + 842 = -4 pm 102
Como c>0, ficamos com
c = -4 + 102 = 3

Resposta

c = 3

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