Determine uma função f(x, y) sabendo-se que a sua diferencial total é:
d f=(e^y+3 x^2 y^2+4 x^3+2) d x+(x e^y+2 x^3 y+cos y) d y

Passo 1

O enunciado nos dá a diferencial total
d f = M(x,y),dx + N(x,y),dy
com
M(x,y)=e^y+3x^2y^2+4x^3+2, N(x,y)=x,e^y+2x^3y+cos y
O conteúdo aqui é reconhecer que d f é uma forma exata (isto é, existe f(x,y) tal que df=partial f/partial x,dx+partial f/partial y,dy) e encontrá-la por integração.

Passo 2

Verificamos a exatidão calculando
partial Mpartial y = e^y + 6x^2y, partial Npartial x = e^y + 6x^2y
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a forma é exata e podemos prosseguir.

Passo 3

Integramos M(x,y) em relação a x, tratando y como constante:
integral M,dx = integrall(e^y+3x^2y^2+4x^3+2r),dx = x,e^y + x^3y^2 + x^4 + 2x + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender só de y.

Passo 4

Para determinar h(y), derivamos essa expressão em relação a y e igualamos a N(x,y):
partial partial yl(xe^y+x^3y^2+x^4+2x+h(y)r) = x,e^y + 2x^3y + h'(y) stackrel!= x,e^y + 2x^3y + cos y
Daí h'(y)=cos y, logo
h(y)=integral cos y,dy = sin y + C

Passo 5

Reunindo tudo, obtemos
f(x,y)=x,e^y + x^3y^2 + x^4 + 2x + sin y + C,
cuja diferencial é exatamente df.

Resposta

f(x,y)=x,e^y + x^3y^2 + x^4 + 2x + sin y + C

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