Considere uma partícula quântica confinada em uma caixa unidimensional de comprimento L. A função de onda que descreve o estado da partícula no instante t=0 é dada por:
Psi(x, 0)=raiz2L sin (pi xL)
Verifique se a função de onda Psi(x, 0) está normalizada.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que a questão pede. Temos uma partícula quântica presa numa “caixa” de comprimento Psi(x,0)=raiz2L;sin!l(pi xLr) (pode imaginar uma partícula que só pode viver entre integral0^L l|Psi(x,0)r|^2,dx = 1 e ). A função de onda no instante é
O exercício quer que a gente verifique se essa está normalizada, ou seja, se
Conteúdo que vamos usar: probabilidade quântica (normalização de função de onda), integral de , e identidade trigonométrica .

Passo 2

Escrevendo a condição de normalização:
integral0^L l|Psi(x,0)r|^2,dx = integral0^L (raiztfrac2L;sin!tfracpi xL)^2 dx = 2Lintegral0^L sin^2!l(tfracpi xLr),dx

Passo 3

Agora precisamos calcular
integral0^L sin^2!l(tfracpi xLr),dx
Usamos a identidade
sin^2theta = 1 - cos(2theta)2
Então, com sin^2!l(tfracpi xLr) = 1 - cos!l(tfrac2pi xLr)2 ,
integral0^Lsin^2!l(tfracpi xLr),dx = 12integral0^Ll[1 - cos!l(tfrac2pi xLr)r]dx
Substituindo na integral:
12l[integral0^L1,dx ;-;integral0^Lcos!l(tfrac2pi xLr)dxr]
Essa integral se separa em duas:
integral0^Lcos!l(tfrac2pi xLr)dx = [L2pisin!l(tfrac2pi xLr)]0^L = L2pil(sin(2pi)-sin0r) = 0
  • A primeira parte é fácil: integral0^Lsin^2!l(tfracpi xLr),dx = 12l[L - 0r] = L2 .
  • A segunda parte, , dá zero porque é um cosseno com período que cabe exatamente duas metades na região . Formalmente:
Então

Passo 4

Voltando à normalização:
integral0^L|Psi|^2dx = 2Ltimes L2 = 1

Resposta

A função de onda está normalizada, pois .

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