A teoria clássica de Rayleigh-Jeans prevê que a radiância espectral de um corpo negro por unidade de comprimento de onda é dada por:
S(lambda)=2 pi c k Tlambda^4
Explique qualitativamente como o fator exponencial na Lei de Planck resolve o problema da catástrofe do ultravioleta. Qual foi o princípio conceitual que levou Planck a derivar a equação correta?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício está falando sobre duas leis que descrevem como a luz é emitida por um corpo negro, que é um objeto ideal que absorve e emite radiação. A primeira lei mencionada é a da Rayleigh-Jeans, que funciona bem em algumas situações, mas prevê algo chamado “catástrofe do ultravioleta”, ou seja, diz que a radiação emitida em comprimentos de onda muito curtos (ultravioleta) seria infinita, o que obviamente não acontece na realidade. A segunda parte do exercício pergunta como a Lei de Planck resolve esse problema e qual foi a ideia chave que levou Planck a chegar à sua fórmula correta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a Lei de Rayleigh-Jeans está dizendo. Ela nos dá a radiância espectral $ S(\lambda) = \frac{2 \pi c k T}{\lambda^{4}} $, que basicamente mostra como a energia emitida por um corpo negro varia com o comprimento de onda $ \lambda $. O problema aqui é que, quando $ \lambda $ fica muito pequeno (ou seja, na região ultravioleta do espectro), o valor de $ S(\lambda) $ cresce sem limites, chegando a infinito. Isso é fisicamente impossível e foi chamado de “catástrofe do ultravioleta”.

Passo 3

Agora, entra a Lei de Planck no jogo. Planck propôs uma nova fórmula para a radiância espectral que inclui um fator exponencial, que muda completamente o comportamento da função para comprimentos de onda pequenos. A fórmula de Planck é:
S(lambda) = 2 pi c hlambda^5 cdot 1e^hclambda k T - 1
Aqui, $ h $ é a constante de Planck, que Planck introduziu como uma novidade.

Passo 4

Então, como o fator exponencial resolve o problema? Quando $ \lambda $ fica muito pequeno, o termo $ e^{\frac{hc}{\lambda k T}} $ se torna enorme, fazendo com que o denominador da fração cresça muito rápido. Isso significa que $ S(\lambda) $ não vai mais crescer para o infinito, mas sim tende a zero. Ou seja, a energia emitida em comprimentos de onda ultravioleta se mantém finita e sequer chega perto de infinito, corrigindo a previsão errada da Lei de Rayleigh-Jeans.

Passo 5

Agora, qual foi a sacada de Planck? Ele introduziu o conceito de quantização da energia. Isso significa que a energia não pode assumir qualquer valor, mas apenas valores discretos, múltiplos de uma unidade básica $ E = h \nu $, onde $ \nu $ é a frequência da radiação. Essa ideia foi revolucionária porque desafiava a visão clássica da física na época e foi um passo fundamental para o desenvolvimento da mecânica quântica.

Resposta

Então, resumindo, o fator exponencial na Lei de Planck impede que a radiância espectral se torne infinita em comprimentos de onda ultravioleta, resolvendo a catástrofe do ultravioleta prevista pela Lei de Rayleigh-Jeans. O princípio que levou Planck a acertar foi a introdução da quantização da energia, onde a energia dos osciladores no corpo negro só pode assumir valores discretos.

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