Considere uma partícula quântica confinada em uma caixa unidimensional de comprimento L. A função de onda que descreve o estado da partícula no instante t=0 é dada por:
Psi(x, 0)=raiz2L sin (pi xL)
Calcule a probabilidade de encontrar a partícula entre x=L / 4 e x=3 L / 4 no instante t=0.

Passo 1

De boa, o que o enunciado pede é: a gente tem uma partícula quântica numa “caixinha” de comprimento Psi(x,0)=raiz2L;sin!l(pi xLr) e, no instante , a função de onda é
A questão quer a probabilidade de achar a partícula entre e em .
Conteúdo: mecânica quântica básica (densidade de probabilidade ) e cálculo de integrais de funções trigonométricas usando a identidade de .

Passo 2

Escrevemos a probabilidade como
P = integralL/4^3L/4 l|Psi(x,0)r|^2,dx = integralL/4^3L/4 2L,sin^2!l(pi xLr),dx
Aqui a densidade de prob é .

Passo 3

Para resolver a integral de sin^2theta = 1 - cos(2theta)2 , usamos a identidade trig:
sin^2!l(pi xLr) = 1 - cos!l(2pi x/Lr)2
No nosso caso , então

Passo 4

Substituindo na integral:
P = 2LintegralL/4^3L/4 1 - cos(2pi x/L)2,dx = 1LintegralL/4^3L/4 l[1 - cos(2pi x/L)r],dx
Agora separamos:
integral (1),dx = x, integral cos!l(2pi x/Lr),dx = L2pi,sin!l(2pi x/Lr)

Passo 5

Aplicando os limites P = 1Ll[;x - L2pisin(2pi x/L)r]L/4^3L/4 e x = tfrac3L4, sin!l(2pitfrac3L4Lr) = sin!l(tfrac3pi2r) = -1 :
x = tfracL4, sin!l(2pitfracL4Lr) = sin!l(tfracpi2r) = 1
No limite superior ( P = 1Ll[l(tfrac3L4 - l(-tfracL2pir)r) - l(tfracL4 - tfracL2pir)r] = 1Ll(tfracL2 + tfracLpir) = tfrac12 + tfrac1pi ):
No limite inferior ( ):
Então

Resposta

boxedP = 12 + 1pi approx 0,8183

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