Considere uma partícula quântica confinada em uma caixa unidimensional de comprimento L. A função de onda que descreve o estado da partícula no instante t=0 é dada por:
Psi(x, 0)=raiz2L sin (pi xL)
Calcule o valor esperado da posição lang<= xrang<= da partícula no instante t=0.

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que temos uma partícula quântica presa numa “caixa” 1D de tamanho Psi(x,0)=raiz2L;sin!l(pi xLr), . A função de onda no tempo zero é
e a gente quer achar o valor esperado da posição, , também no tempo zero.
Conteúdo: Mecânica quântica — valor esperado (expectation value) de um observável.
O que precisamos:
  1. Definir como integral de .
  2. Substituir a .
  3. Calcular a integral, usando uma identidade trigonométrica e integração por partes.

Passo 2

Em mecânica quântica, o valor esperado da posição é
lang<= xrang<= ;=;integral0^L x,|Psi(x,0)|^2,dx
Aqui |Psi(x,0)|^2 ;=;l(raiztfrac2Lr)^2,sin^2!l(tfracpi xLr) =2L,sin^2!l(tfracpi xLr) é a densidade de probabilidade. Substituindo nossa onda:
lang<= xrang<= = integral0^L x;2L,sin^2!l(tfracpi xLr),dx
Então

Passo 3

Para facilitar, usamos a identidade
sin^2theta = 1-cos(2theta)2
No nosso caso, sin^2!l(tfracpi xLr) =1 - cos!l(tfrac2pi xLr)2 , então
lang<= xrang<= =2Lintegral0^L x,1 - cosl(tfrac2pi xLr)2,dx =1Lintegral0^L x,l[1 - cosl(tfrac2pi xLr)r]dx
Substituindo na integral:
lang<= xrang<= =1Ll[underbraceintegral0^L x,dxI1 ;-;underbraceintegral0^L x,cos!l(tfrac2pi xLr),dxI2r]
Agora separamos em duas integrais:

Passo 4

Calculemos I2 = x;L2pisin!l(tfrac2pi xLr)|0^L - integral0^LL2pisin!l(tfrac2pi xLr),dx e lang<= xrang<= = 1Ll[L^22 - 0r] = L2 separadamente:

  1. Usamos integração por partes:
    • Tome e .
    • Então e
      Aplicando :
    • No termo de fronteira, e , então essa parte some.
    • Fica só .
      Para essa integral, note que é proporcional a avaliado em 0 e , dando também zero porque .
      Logo .
Juntando:

Resposta

boxedlang<= xrang<= = L2

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