2 - Considere uma partícula quântica cuja função de onda no instante
é dada por:
onde A é uma constante de normalização e a é um parâmetro positivo. Determine a constante de normalização A para que a função de onda esteja normalizada.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo e nos conceitos que vamos usar. Temos uma função de onda para uma partícula quântica no instante $ t = 0 $, dada por:
Aqui, $ A $ é uma constante de normalização que precisamos encontrar, e $ \alpha $ é um parâmetro positivo. O objetivo é determinar o valor de $ A $ de forma que a função de onda esteja normalizada.
Conteúdo da matéria: Mecânica Quântica – Normalização de funções de onda. O que vamos precisar: Entender que para uma função de onda estar normalizada, a integral do módulo ao quadrado da função sobre todo o espaço deve ser igual a 1.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função de onda estar normalizada. Isso quer dizer que a probabilidade de encontrar a partícula em todo o espaço é 1. Matematicamente, isso é expresso pela integral do módulo ao quadrado da função de onda:
Então, nosso primeiro passo é calcular $ |\Psi(x, 0)|^{2} $.
Passo 3
Calculando o módulo ao quadrado da função de onda:
Aqui, usamos o fato de que $ A $ e $ \alpha $ são reais, então o complexo conjugado não altera nada.
Passo 4
Agora, colocamos $ |\Psi(x, 0)|^{2} $ na integral de normalização:
Queremos resolver essa equação para encontrar o valor de $ A $.
Passo 5
Observamos que a integral:
onde $ k > 0 $. No nosso caso, $ k = 2\alpha $.
Passo 6
Aplicando essa fórmula à nossa integral:
Agora, precisamos isolar $ A^{2} $.
Passo 7
Isolando $ A^{2} $:
E, tomando a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar $ A $:
Resposta
A constante de normalização $ A $ é: