2 - Considere uma partícula quântica cuja função de onda no instante t=0 é dada por:
Psi(x, 0)=A e^-alpha x^2
onde A é uma constante de normalização e a é um parâmetro positivo. Determine a constante de normalização A para que a função de onda esteja normalizada.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo e nos conceitos que vamos usar. Temos uma função de onda para uma partícula quântica no instante $ t = 0 $, dada por:
t = 0
Aqui, $ A $ é uma constante de normalização que precisamos encontrar, e $ \alpha $ é um parâmetro positivo. O objetivo é determinar o valor de $ A $ de forma que a função de onda esteja normalizada.
Conteúdo da matéria: Mecânica Quântica – Normalização de funções de onda. O que vamos precisar: Entender que para uma função de onda estar normalizada, a integral do módulo ao quadrado da função sobre todo o espaço deve ser igual a 1.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função de onda estar normalizada. Isso quer dizer que a probabilidade de encontrar a partícula em todo o espaço é 1. Matematicamente, isso é expresso pela integral do módulo ao quadrado da função de onda:
integral-infty^infty |Psi(x, 0)|^2 dx = 1
Então, nosso primeiro passo é calcular $ |\Psi(x, 0)|^{2} $.

Passo 3

Calculando o módulo ao quadrado da função de onda:
|Psi(x, 0)|^2 = Psi^*(x, 0) Psi(x, 0) = (A e^-alpha x^2)^* (A e^-alpha x^2) = A^2 e^-2alpha x^2
Aqui, usamos o fato de que $ A $ e $ \alpha $ são reais, então o complexo conjugado não altera nada.

Passo 4

Agora, colocamos $ |\Psi(x, 0)|^{2} $ na integral de normalização:
|Psi(x, 0)|^2
Queremos resolver essa equação para encontrar o valor de $ A $.

Passo 5

Observamos que a integral:
integral-infty^infty e^-k x^2 dx = raizpik
onde $ k > 0 $. No nosso caso, $ k = 2\alpha $.

Passo 6

Aplicando essa fórmula à nossa integral:
A^2 integral-infty^infty e^-2alpha x^2 dx = A^2 raizpi2alpha = 1
Agora, precisamos isolar $ A^{2} $.

Passo 7

Isolando $ A^{2} $:
A^2
E, tomando a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar $ A $:
A^2 = 1raizpi2alpha = raiz2alphapi

Resposta

A constante de normalização $ A $ é:
A

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