Algumas pessoas acreditam que suas atividades são controladas pela Lua. Se a Lua está do outro lado da Terra, verticalmente abaixo de você, e passa para uma posição verticalmente acima da sua cabeça, qual é a variação percentual (a) da atração gravitacional que a Lua exerce sobre você e (b) do seu peso (medido em uma balança de mola)? Suponha que a distância Terra-Lua (de centro a centro) é 3,83 times 10^8 m, que o raio da Terra é 6,37 times 10^6 m, que a massa da Terra é 5,98 times 10^24 kg e que a massa da Lua é 7,36 times 10^22 kg.
R: (a) 6,9%; (b) .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente precisa descobrir como a atração gravitacional que a Lua exerce sobre você muda quando ela está de um lado da Terra pra outro. Para isso, vamos usar a Lei da Gravitação Universal de Newton, que basicamente diz que a força gravitacional entre dois objetos depende das massas deles e da distância entre eles. Vamos precisar dos dados fornecidos sobre as massas e distâncias da Terra e da Lua para fazer nossos cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da Lei da Gravitação Universal:
F = G M cdot mr^2
Onde:
  • $ F $ é a força gravitacional,
  • $ G $ é a constante gravitacional ( F ),
  • $ M $ é a massa do primeiro objeto (no caso, a Lua),
  • $ m $ é a massa do segundo objeto (você),
  • $ r $ é a distância entre os centros dos dois objetos.
Como queremos a variação percentual da força gravitacional quando a Lua muda de posição, vamos calcular a força quando ela está na posição mais distante e na posição mais próxima.

Passo 3

Quando a Lua está do outro lado da Terra, a distância entre você e a Lua é a soma do raio da Terra com a distância Terra-Lua:
rdistante = RTerra + RLua = 6,37 times 10^6 , m + 3,83 times 10^8 , m = 3,89 times 10^8 , m
Agora, quando a Lua está acima da sua cabeça, a distância é a distância Terra-Lua menos o raio da Terra:
rpróxima = RLua - RTerra = 3,83 times 10^8 , m - 6,37 times 10^6 , m = 3,77 times 10^8 , m ó

Passo 4

Vamos chamar a força gravitacional quando a Lua está distante de $ F_{distante} $ e quando está próxima de $ F_{próxima} $. Usando a fórmula da gravitação:
Fdistante
Fpróxima ó

Passo 5

Queremos saber a variação percentual da força gravitacional. Isso é calculado pela diferença entre as duas forças dividida pela força inicial, multiplicado por 100%:
Deó
Vamos simplificar essa expressão substituindo as forças:
De
As massas $ M_{Lua} $ e a constante $ G $ se cancelam, simplificando a expressão:
MLua

Passo 6

Agora, vamos calcular os valores:
Primeiro, calculamos os quadrados das distâncias:
(3,89 times 10^8)^2 = 1,5121 times 10^17 , m^2
(3,77 times 10^8)^2 = 1,4161 times 10^17 , m^2
Substituindo na expressão:
De
De
De
De
Arredondando, temos aproximadamente 6,9% de variação.

Passo 7

Agora, vamos para a parte (b), que pede a variação do seu peso medido numa balança de mola. O peso é a força gravitacional que a Terra exerce sobre você, mas a Lua também exerce uma força oposta quando está acima de você e uma força na mesma direção quando está abaixo.
A variação no peso devido à Lua é a diferença entre essas duas posições. Porém, como a força da Lua é muito menor comparada à força da Terra, essa variação é bem pequena.
Podemos calcular a variação percentual da força da Lua com base na força gravitacional da Terra:
De
Sabendo que a força da Lua é cerca de 6,9% dessa força em determinadas posições e comparando com a força da Terra, que é muito maior, o resultado final é aproximadamente 2,3 times 10^-5 %.

Resposta

(a) A variação percentual da atração gravitacional que a Lua exerce sobre você é de 6,9%.
(b) A variação percentual do seu peso medido numa balança de mola é de 2,3 times 10^-5 %.

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