Algumas pessoas acreditam que suas atividades são controladas pela Lua. Se a Lua está do outro lado da Terra, verticalmente abaixo de você, e passa para uma posição verticalmente acima da sua cabeça, qual é a variação percentual (a) da atração gravitacional que a Lua exerce sobre você e (b) do seu peso (medido em uma balança de mola)? Suponha que a distância Terra-Lua (de centro a centro) é , que o raio da Terra é , que a massa da Terra é e que a massa da Lua é .
R: (a) 6,9%; (b) .
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente precisa descobrir como a atração gravitacional que a Lua exerce sobre você muda quando ela está de um lado da Terra pra outro. Para isso, vamos usar a Lei da Gravitação Universal de Newton, que basicamente diz que a força gravitacional entre dois objetos depende das massas deles e da distância entre eles. Vamos precisar dos dados fornecidos sobre as massas e distâncias da Terra e da Lua para fazer nossos cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da Lei da Gravitação Universal:
Onde:
$ F $ é a força gravitacional,
$ G $ é a constante gravitacional (),
$ M $ é a massa do primeiro objeto (no caso, a Lua),
$ m $ é a massa do segundo objeto (você),
$ r $ é a distância entre os centros dos dois objetos.
Como queremos a variação percentual da força gravitacional quando a Lua muda de posição, vamos calcular a força quando ela está na posição mais distante e na posição mais próxima.
Passo 3
Quando a Lua está do outro lado da Terra, a distância entre você e a Lua é a soma do raio da Terra com a distância Terra-Lua:
Agora, quando a Lua está acima da sua cabeça, a distância é a distância Terra-Lua menos o raio da Terra:
Passo 4
Vamos chamar a força gravitacional quando a Lua está distante de $ F_{distante} $ e quando está próxima de $ F_{próxima} $. Usando a fórmula da gravitação:
Passo 5
Queremos saber a variação percentual da força gravitacional. Isso é calculado pela diferença entre as duas forças dividida pela força inicial, multiplicado por 100%:
Vamos simplificar essa expressão substituindo as forças:
As massas $ M_{Lua} $ e a constante $ G $ se cancelam, simplificando a expressão:
MLua
Passo 6
Agora, vamos calcular os valores:
Primeiro, calculamos os quadrados das distâncias:
(3,89 times 10^8)^2 = 1,5121 times 10^17 , m^2
(3,77 times 10^8)^2 = 1,4161 times 10^17 , m^2
Substituindo na expressão:
De
De
De
De
Arredondando, temos aproximadamente 6,9% de variação.
Passo 7
Agora, vamos para a parte (b), que pede a variação do seu peso medido numa balança de mola. O peso é a força gravitacional que a Terra exerce sobre você, mas a Lua também exerce uma força oposta quando está acima de você e uma força na mesma direção quando está abaixo.
A variação no peso devido à Lua é a diferença entre essas duas posições. Porém, como a força da Lua é muito menor comparada à força da Terra, essa variação é bem pequena.
Podemos calcular a variação percentual da força da Lua com base na força gravitacional da Terra:
De
Sabendo que a força da Lua é cerca de 6,9% dessa força em determinadas posições e comparando com a força da Terra, que é muito maior, o resultado final é aproximadamente 2,3 times 10^-5 %.
Resposta
(a) A variação percentual da atração gravitacional que a Lua exerce sobre você é de 6,9%.
(b) A variação percentual do seu peso medido numa balança de mola é de 2,3 times 10^-5 %.