Encontre uma matriz K tal que A K B=C, sendo
A=[rr 1 & 4 -2 & 3 1 & -2 ], B=[rrr 2 & 0 & 0 0 & 1 & -1 ], C=[rrr 8 & 6 & -6 6 & -1 & 1 -4 & 0 & 0 ],

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar uma matriz $ K $ tal que $ A K B = C $. Aqui, temos três matrizes dadas:
K
O conteúdo que vamos usar aqui envolve multiplicação de matrizes e resolver sistemas de equações matriciais para achar a matriz $ K $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as dimensões das matrizes envolvidas. A matriz $ A $ é $ 3 \times 2 $ (3 linhas e 2 colunas), $ B $ é $ 2 \times 3 $, e $ C $ é $ 3 \times 3 $. Queremos encontrar $ K $ tal que a multiplicação $ A K B $ resulte em $ C $.

Passo 3

Para descobrir a dimensão de $ K $, lembramos que o número de colunas de uma matriz deve ser igual ao número de linhas da próxima matriz na multiplicação. Então:
  • $ A $ é $ 3 \times 2 $
  • $ K $ deve ser $ 2 \times 2 $ para multiplicar com $ A $ (porque 2 colunas de $ A $ correspondem às 2 linhas de $ K $)
  • $ B $ é $ 2 \times 3 $, então $ K $ deve ter 2 colunas para multiplicar com $ B $
Portanto, $ K $ é uma matriz $ 2 \times 2 $.

Passo 4

Vamos chamar a matriz $ K $ de:
K
Nosso objetivo é encontrar os valores de $ k_{11}, k_{12}, k_{21}, k_{22} $ que satisfazem $ A K B = C $.

Passo 5

Agora, vamos multiplicar as matrizes passo a passo. Primeiro, multiplicamos $ K $ por $ B $:
K

Passo 6

Em seguida, multiplicamos $ A $ pela matriz resultante $ K B $:
A
Vamos multiplicar linha por coluna:
K B
Simplificando cada entrada:
A K B = 1 & 4 -2 & 3 1 & -2 2k11 & k12 & -k12 2k21 & k22 & -k22

Passo 7

Agora, igualamos essa matriz ao $ C $ dado:
$$
C

2k11 + 8k21 & k12 + 4k22 & -k12 - 4k22 -4k11 + 6k21 & -2k12 + 3k22 & 2k12 - 3k22 2k11 - 4k21 & k12 - 2k22 & -k12 + 2k22 = 8 & 6 & -6 6 & -1 & 1 -4 & 0 & 0
$$
Isso nos dá um sistema de equações:
  1. $ 2k_{11} + 8k_{21} = 8 $
  2. $ k_{12} + 4k_{22} = 6 $
  3. $ -k_{12} - 4k_{22} = -6 $
  4. $ -4k_{11} + 6k_{21} = 6 $
  5. $ -2k_{12} + 3k_{22} = -1 $
  6. $ 2k_{12} - 3k_{22} = 1 $
  7. $ 2k_{11} - 4k_{21} = -4 $
  8. $ k_{12} - 2k_{22} = 0 $
  9. $ -k_{12} + 2k_{22} = 0 $

Passo 8

Vamos resolver essas equações passo a passo. Observando as equações 2 e 3:
k12 + 4k22 = 6 -k12 - 4k22 = -6
Somando as duas equações, eliminamos $ k_{12} $ e $ k_{22} $:
k12
Isso indica que essas duas equações são dependentes e não nos dão nova informação. Vamos olhar para as equações 5 e 6:
k22
Somando essas duas equações também obtemos $ 0 = 0 $, o que significa que elas também são dependentes. Vamos então para as equações 8 e 9:
0 = 0
Somando essas duas, também temos $ 0 = 0 $. Então, parece que todas as equações envolvendo $ k_{12} $ e $ k_{22} $ são dependentes. Vamos focar nas equações envolvendo $ k_{11} $ e $ k_{21} $:
-2k12 + 3k22 = -1 2k12 - 3k22 = 1 çãçãçã
Podemos resolver essas três equações para encontrar $ k_{11} $ e $ k_{21} $.

Passo 9

Vamos resolver as equações 1 e 4 primeiro:
2k11 + 8k21 = 8 (1) -4k11 + 6k21 = 6 (4)
Podemos simplificar a equação (1) dividindo por 2:
k11 + 4k21 = 4 (1a)
Agora, podemos multiplicar a equação (1a) por 4 para alinhar os coeficientes de $ k_{11} $:
k11
Agora, somamos a equação (1b) com a equação (4):
4k11 + 16k21 = 16 (1b)
Agora, substituímos $ k_{21} = 1 $ na equação (1a):
(4k11 + 16k21) + (-4k11 + 6k21) = 16 + 6 22k21 = 22 k21 = 1

Passo 10

Agora que temos $ k_{11} = 0 $ e $ k_{21} = 1 $, vamos usar a equação (7) para verificar:
k11 = 0
Tudo certo! Agora, vamos encontrar $ k_{12} $ e $ k_{22} $.

Passo 11

Voltando às equações 8 e 9:
k12 - 2k22 = 0 (8) -k12 + 2k22 = 0 (9)
Vamos resolver uma delas, por exemplo, a equação (8):
k12 = 2k22
Agora, substituímos isso na equação 5:
-2(2k22) + 3k22 = -1 -4k22 + 3k22 = -1 - k22 = -1 k22 = 1
Agora, usando $ k_{12} = 2k_{22} $:
k12 = 2k22

Passo 12

Vamos conferir com a equação 2:
k12 + 4k22 = 6 2 + 4(1) = 6 2 + 4 = 6 checkmark
Tudo certo! Agora temos todos os valores de $ K $.

Resposta

A matriz $ K $ que satisfaz $ A K B = C $ é:
K

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