Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar uma matriz $ K $ tal que $ A K B = C $. Aqui, temos três matrizes dadas:
K
O conteúdo que vamos usar aqui envolve multiplicação de matrizes e resolver sistemas de equações matriciais para achar a matriz $ K $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as dimensões das matrizes envolvidas. A matriz $ A $ é $ 3 \times 2 $ (3 linhas e 2 colunas), $ B $ é $ 2 \times 3 $, e $ C $ é $ 3 \times 3 $. Queremos encontrar $ K $ tal que a multiplicação $ A K B $ resulte em $ C $.
Passo 3
Para descobrir a dimensão de $ K $, lembramos que o número de colunas de uma matriz deve ser igual ao número de linhas da próxima matriz na multiplicação. Então:
$ A $ é $ 3 \times 2 $
$ K $ deve ser $ 2 \times 2 $ para multiplicar com $ A $ (porque 2 colunas de $ A $ correspondem às 2 linhas de $ K $)
$ B $ é $ 2 \times 3 $, então $ K $ deve ter 2 colunas para multiplicar com $ B $
Portanto, $ K $ é uma matriz $ 2 \times 2 $.
Passo 4
Vamos chamar a matriz $ K $ de:
K
Nosso objetivo é encontrar os valores de $ k_{11}, k_{12}, k_{21}, k_{22} $ que satisfazem $ A K B = C $.
Passo 5
Agora, vamos multiplicar as matrizes passo a passo. Primeiro, multiplicamos $ K $ por $ B $:
K
Passo 6
Em seguida, multiplicamos $ A $ pela matriz resultante $ K B $:
A
Vamos multiplicar linha por coluna:
K B
Simplificando cada entrada:
A K B = 1 & 4 -2 & 3 1 & -2 2k11 & k12 & -k12 2k21 & k22 & -k22
Vamos resolver essas equações passo a passo. Observando as equações 2 e 3:
k12 + 4k22 = 6 -k12 - 4k22 = -6
Somando as duas equações, eliminamos $ k_{12} $ e $ k_{22} $:
k12
Isso indica que essas duas equações são dependentes e não nos dão nova informação. Vamos olhar para as equações 5 e 6:
k22
Somando essas duas equações também obtemos $ 0 = 0 $, o que significa que elas também são dependentes. Vamos então para as equações 8 e 9:
0 = 0
Somando essas duas, também temos $ 0 = 0 $. Então, parece que todas as equações envolvendo $ k_{12} $ e $ k_{22} $ são dependentes. Vamos focar nas equações envolvendo $ k_{11} $ e $ k_{21} $:
-2k12 + 3k22 = -1 2k12 - 3k22 = 1 çãçãçã
Podemos resolver essas três equações para encontrar $ k_{11} $ e $ k_{21} $.
Passo 9
Vamos resolver as equações 1 e 4 primeiro:
2k11 + 8k21 = 8 (1) -4k11 + 6k21 = 6 (4)
Podemos simplificar a equação (1) dividindo por 2:
k11 + 4k21 = 4 (1a)
Agora, podemos multiplicar a equação (1a) por 4 para alinhar os coeficientes de $ k_{11} $:
k11
Agora, somamos a equação (1b) com a equação (4):
4k11 + 16k21 = 16 (1b)
Agora, substituímos $ k_{21} = 1 $ na equação (1a):