Considere uma partícula quântica cuja função de onda unidimensional é dada por:
onde
e
são constantes reais e positivas.
Qual seria a interpretação física de uma região do espaço onde
?
Qual seria a interpretação física de uma região do espaço onde
Passo 1
O enunciado nos dá a função de onda unidimensional
com
e
constantes reais e positivas. A pergunta é: qual é a interpretação física de uma região do espaço onde
?
Passo 2
Primeiro, recordar o sentido físico de
(regra de Born). A regra de Born diz que
é a densidade de probabilidade de encontrar a partícula na posição
no tempo
. Mais precisamente, para um pequeno intervalo
a probabilidade de detectar a partícula ali é
Aqui:
-
tem unidades de probabilidade por comprimento (densidade de probabilidade); - a probabilidade de encontrar a partícula em um conjunto
é .
Passo 3
Interpretação direta de
. Se em algum ponto
ou em alguma região
temos
, isso significa que a probabilidade de encontrar a partícula exatamente naquele ponto ou dentro daquela região é zero. Em palavras simples:
-
implica que um detector localizado exatamente em nunca vai localizar a partícula (probabilidade nula) naquele instante; - se
em um intervalo de comprimento não-nulo (uma região aberta), então a probabilidade de encontrar a partícula em qualquer ponto desse intervalo é zero.
Passo 4
Consequências físicas e origens possíveis de
.
- Zero em pontos isolados (nós): muitas funções de onda têm zeros em pontos isolados (por exemplo, estados excitados de particle in a box). Zeros pontuais têm probabilidade nula de encontrar a partícula exatamente naquele ponto — isso não impede a partícula de estar arbitrariamente próxima.
- Zero em uma região com largura finita: fisicamente muito significativo — a partícula é proibida de ocupar essa região. Isso ocorre tipicamente quando há uma barreira de potencial infinita (por exemplo, dentro de uma parede com potencial
a função de onda deve ser identicamente zero). Em potenciais finitos, a função de onda costuma decair exponencialmente em regiões energeticamente proibidas, mas não fica exatamente zero. - Interferência: superposições de estados podem criar nós (locais onde as ondas se cancelam perfeitamente), dando
em pontos por interferência destrutiva. - Nota técnica (sem aprofundar demais): em muitas situações físicas regulares, se uma solução do operador de Schrödinger é identicamente zero numa região aberta e a equação é bem comportada, isso tende a forçar a solução trivial (Ψ≡0) — por isso zeros em regiões abertas ocorrem em casos com condições de contorno especiais (como paredes infinitas) ou quando se impõe que Ψ=0 lá.
Passo 5
Aplicando ao caso dado: calcule
para a gaussiana fornecida.
já que
e
são reais e positivos. Observe que para todo
o exponencial
é estritamente positivo (nunca é zero). Portanto
para todo
.
Passo 6
Interpretação final específica para a função dada e conclusão intuitiva. Como
é estritamente positiva em todo o eixo, não existe nenhuma região do espaço onde a probabilidade de encontrar a partícula seja exatamente zero. A partícula tem alguma probabilidade (ainda que muito pequena longe do centro) de ser encontrada em qualquer ponto
. Em outras palavras: não há “região proibida” no sentido de probabilidade nula — a gaussiana espalha a probabilidade por todo o espaço.
Resposta
Uma região onde
significa que a probabilidade de encontrar a partícula ali é zero (a partícula é, física e experimentalmente, proibida de aparecer nessa região). Para a função dada,
para todo
, logo não existe tal região de probabilidade zero.