Um gás ideal experimenta uma compressão adiabática de
até
Calcule o valor de
. (b) Determine a temperatura final. (c) Quanto vale o trabalho realizado sobre o gás? (d) Qual a energia cinética de translação total por mol, antes e após a compressão? (e) Calcule a razão entre as velocidades rms antes e depois da compressão.
Passo 1
O enunciado dá os estados inicial e final de um gás ideal submetido a compressão adiabática. Vou listar claramente o que é dado e o que é pedido.
Dados (pegos do enunciado):
- Pressão inicial:
. - Volume inicial:
. - Temperatura inicial:
. - Pressão final:
. - Volume final:
. - Processo: adiabático (não há transferência de calor).
O que o enunciado pede:
(a) Calcular o valor de (razão dos calores específicos
).
(b) Determinar a temperatura final .
(c) Calcular o trabalho realizado sobre o gás (energia transferida por trabalho, sinal positivo se realizado sobre o gás).
(d) Calcular a energia cinética de translação total por mol, antes e após a compressão (ou seja, energia translacional por mol nos estados 1 e 2).
(e) Calcular a razão entre as velocidades rms (root-mean-square) antes e depois da compressão, .
(a) Calcular o valor de
(b) Determinar a temperatura final
(c) Calcular o trabalho realizado sobre o gás (energia transferida por trabalho, sinal positivo se realizado sobre o gás).
(d) Calcular a energia cinética de translação total por mol, antes e após a compressão (ou seja, energia translacional por mol nos estados 1 e 2).
(e) Calcular a razão entre as velocidades rms (root-mean-square) antes e depois da compressão,
Observações úteis (que vou usar nos passos seguintes):
- Converter temperatura para kelvin:
. - Para um processo adiabático reversível de gás ideal vale a relação
- Relações úteis que vou usar estão sendo apresentadas quando necessárias; não é preciso lembrar nada a mais agora.
Passo 2
Encontrar
a partir da lei adiabática.
Explicação da fórmula: se
, dividindo membro a membro obtemos
Tomando logaritmos naturais em ambos os lados:
Isolando
:
Agora aplicando com os valores dados (atenção às unidades: para a razão de pressões a unidade cancela, portanto kPa está OK):
Calculemos os logaritmos e a razão:
Passo 3
Determinar a temperatura final
.
Primeiro converto a temperatura inicial para kelvin:
Relação adiabática entre temperaturas e volumes: para um gás ideal em processo adiabático reversível vale
Logo
Já temos
e
, então
.
Calculemos:
Portanto
Em graus Celsius:
Passo 4
Calcular o trabalho realizado sobre o gás.
Conceito e fórmula: para um processo adiabático reversível o trabalho realizado pelo gás (isto é, trabalho que o gás faz sobre o entorno) é
Como a pergunta pede o trabalho realizado sobre o gás,
. Manipulando:
Explicação rápida: a expressão vem da integração
usando
e integrando entre
e
.
Agora aplico numericamente (usar SI: Pa para pressão):
Diferença:
Com
:
Portanto o trabalho realizado sobre o gás é aproximadamente
(positivo, porque foi compressão).
Como checagem alternativa (mostrando a relação entre energia interna e trabalho): para gás ideal adiabático
e
. Para verificar numericamente pode-se calcular o número de mols
e usar
com
; os dois caminhos dão o mesmo resultado (omito repetição detalhada do cálculo da checagem para não alongar demais, mas posso mostrar se quiser).
Passo 5
Determinar o número de mols (útil para checagem e compreensão).
Usando a equação de estado
e
:
Com esse
pode-se verificar que
coincide com
calculado no passo anterior, prestando-se como checagem da consistência.
Passo 6
Energia cinética de translação total por mol, antes e depois (parte d).
Conceito: para um mol de gás ideal monoatômico ou em relação à parte translacional clássica (aplicável a todas as moléculas no regime clássico), a energia cinética média translacional por mol é
onde
é a constante dos gases e
a temperatura absoluta (K). Aqui pedem “total por mol”, que é exatamente essa expressão.
Calculemos para os dois estados:
Para o estado 1 (
):
Para o estado 2 (
):
(Números arredondados às unidades apresentadas.)
Passo 7
Razão entre as velocidades rms antes e depois (parte e).
Conceito: a velocidade rms (root-mean-square) de moléculas de um gás ideal é
onde
é a massa molar do gás. Para a razão entre
e
o
cancela (o gás é o mesmo nos dois estados), então
Aplicando os valores:
Interpretação física rápida: a compressão adiabática aumentou ligeiramente a temperatura, logo a velocidade rms aumenta ligeiramente; o fator é muito próximo de 1 porque a variação de temperatura foi pequena.
Resposta
(a)
(b) (ou
)
(c) Trabalho realizado sobre o gás:
(d) Energia cinética de translação por mol: ,
(e)
(b)
(c) Trabalho realizado sobre o gás:
(d) Energia cinética de translação por mol:
(e)