Observa-se que a capacidade térmica molar, medida à pressão atmosférica, varia com a temperatura, entre 50 e 100 K , segundo a equação empírica
C=0,318 T-0,00109 T^{2}-0,628.
onde C está em \mathrm{J} / \mathrm{mol} \cdot \mathrm{K} e T está em K . Calcule a quantidade de calor necessária para elevar a temperatura de 316 g de 50.0 para 90.0 K . A massa molar da prata é 107,87 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Capacidade térmica molar (medida à pressão atmosférica) como função da temperatura:
C(T)=0{,}318\,T-0{,}00109\,T^{2}-0{,}628,
onde C está em \mathrm{J}/\mathrm{mol}\cdot\mathrm{K} e T em \mathrm{K}.
  • Massa da amostra: 316\\ \mathrm{g}.
  • Temperaturas inicial e final: T_1=50{,}0\\ \mathrm{K} e T_2=90{,}0\\ \mathrm{K}.
  • Massa molar da prata: M=107{,}87\\ \mathrm{g/mol}.
O enunciado pede: calcular a quantidade de calor necessária para elevar a temperatura da amostra de 50{,}0\\ \mathrm{K} para 90{,}0\\ \mathrm{K}.

Passo 2

Qual a relação matemática que usamos para calor quando a capacidade molar depende de T?
Quando a capacidade térmica molar à pressão constante é C(T) (unidade \mathrm{J}/\mathrm{mol}\cdot\mathrm{K}), a quantidade de calor por mol necessária para aquecer de T_1 a T_2 é dada pela integral
q_{\text{mol}}=\int_{T_1}^{T_2} C(T)\,dT.
Se a amostra tem n mols, o calor total é
Q = n\;q_{\text{mol}} = n\int_{T_1}^{T_2} C(T)\,dT.
Aqui:
  • q_{\text{mol}} é o calor por mol (J/mol),
  • n é o número de mols da amostra (mol),
  • Q é o calor total (J).
Explicando rápido: essa fórmula vem do fato de que C(T) diz quanta energia (em J) é necessária para aumentar 1 mol em 1 K; integrando ao longo do intervalo de temperatura somamos essas contribuições.

Passo 3

Calcular o número de mols n da amostra a partir da massa e da massa molar:
n=\frac{m}{M}=\frac{316\\ \mathrm{g}}{107{,}87\\ \mathrm{g/mol}}.
Vamos calcular:
n=\frac{316}{107{,}87}\approx 2{,}92997\\ \mathrm{mol}.
(Arredondei só ao final; guardamos n\approx 2{,}92997\\ \mathrm{mol}.)

Passo 4

Montar e calcular a integral por mol \;q_{\text{mol}}=\int_{50}^{90} C(T)\,dT.
Substituindo C(T):
q_{\text{mol}}=\int_{50}^{90}\left(0{,}318\,T-0{,}00109\,T^{2}-0{,}628\right)\,dT.
Integramos termo a termo. Lembrando regras de integração:
  • \displaystyle\int a\,T\,dT = a\frac{T^{2}}{2},
  • \displaystyle\int b\,T^{2}\,dT = b\frac{T^{3}}{3},
  • \displaystyle\int c\,dT = cT.
Aplicando:
\int \left(0{,}318\,T\right)dT = 0{,}318\frac{T^{2}}{2}=0{,}159\,T^{2},
\int \left(-0{,}00109\,T^{2}\right)dT = -0{,}00109\frac{T^{3}}{3}=-\frac{0{,}00109}{3}\,T^{3},
\int (-0{,}628)\,dT = -0{,}628\,T.
Portanto uma primitiva é
F(T)=0{,}159\,T^{2}-\frac{0{,}00109}{3}\,T^{3}-0{,}628\,T.

Passo 5

Avaliar q_{\text{mol}}=F(90)-F(50). Vou calcular cada termo separadamente para T=90 e T=50.
Calcular F(90):
0{,}159\cdot 90^{2}=0{,}159\cdot 8100=1287{,}9,
\frac{0{,}00109}{3}\cdot 90^{3}=\frac{0{,}00109}{3}\cdot 729000 =0{,}000363333\ldots\cdot 729000 =264{,}87,
0{,}628\cdot 90=56{,}52.
Logo
F(90)=1287{,}9-264{,}87-56{,}52=966{,}51.
Calcular F(50):
0{,}159\cdot 50^{2}=0{,}159\cdot 2500=397{,}5,
\frac{0{,}00109}{3}\cdot 50^{3}=\frac{0{,}00109}{3}\cdot 125000 =0{,}000363333\ldots\cdot 125000 =45{,}4166667,
0{,}628\cdot 50=31{,}4.
Logo
F(50)=397{,}5-45{,}4166667-31{,}4=320{,}6833333.
Agora a diferença:
q_{\text{mol}}=F(90)-F(50)=966{,}51-320{,}6833333=645{,}8266667\\ \mathrm{J/mol}.

Passo 6

Calcular o calor total Q=n\;q_{\text{mol}}.
Usando n\approx 2{,}92997\\ \mathrm{mol} e q_{\text{mol}}\approx 645{,}8266667\\ \mathrm{J/mol}:
Q=2{,}92997\times 645{,}8266667\approx 1892{,}25\\ \mathrm{J}.
Interpretação rápida: Q>0 porque forneceu-se calor para elevar a temperatura.

Resposta

1{,}892\times 10^{3}\\ \mathrm{J}

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