Observa-se que a capacidade térmica molar, medida à pressão atmosférica, varia com a temperatura, entre 50 e 100 K , segundo a equação empírica
.
onde
está em
e
está em K . Calcule a quantidade de calor necessária para elevar a temperatura de 316 g de 50.0 para 90.0 K . A massa molar da prata é
.
onde
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Capacidade térmica molar (medida à pressão atmosférica) como função da temperatura:
onde
está em
e
em
.
- Massa da amostra:
. - Temperaturas inicial e final:
e . - Massa molar da prata:
.
O enunciado pede: calcular a quantidade de calor necessária para elevar a temperatura da amostra de
para
.
Passo 2
Qual a relação matemática que usamos para calor quando a capacidade molar depende de
?
Quando a capacidade térmica molar à pressão constante é
(unidade
), a quantidade de calor por mol necessária para aquecer de
a
é dada pela integral
Se a amostra tem
mols, o calor total é
Aqui:
-
é o calor por mol (J/mol), -
é o número de mols da amostra (mol), -
é o calor total (J).
Explicando rápido: essa fórmula vem do fato de que
diz quanta energia (em J) é necessária para aumentar 1 mol em 1 K; integrando ao longo do intervalo de temperatura somamos essas contribuições.
Passo 3
Calcular o número de mols
da amostra a partir da massa e da massa molar:
Vamos calcular:
(Arredondei só ao final; guardamos
.)
Passo 4
Montar e calcular a integral por mol
.
Substituindo
:
Integramos termo a termo. Lembrando regras de integração:
-
, -
, -
.
Aplicando:
Portanto uma primitiva é
Passo 5
Avaliar
. Vou calcular cada termo separadamente para
e
.
Calcular
:
Logo
Calcular
:
Logo
Agora a diferença:
Passo 6
Calcular o calor total
.
Usando
e
:
Interpretação rápida:
porque forneceu-se calor para elevar a temperatura.