Mostre que, para um sistema de duas massas conectadas por uma mola ideal, a configuração de equilíbrio pode ser obtida pela minimização da energia potencial total do sistema.

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema com duas massas m_1 e m_2 ligadas por uma mola ideal de constante elástica k e comprimento natural L_0. Não há outras forças conservativas (por exemplo, desprezamos a gravidade ou consideramos superfície horizontal sem atrito), logo a única energia potencial é a elástica da mola. O objetivo é mostrar que a configuração de equilíbrio estática coincide com o ponto em que a energia potencial total U é mínima.

Passo 2

Escolhemos como variáveis as posições x_1 e x_2 das massas numa linha reta. A deformação da mola é
\Delta L = (x_2 - x_1) - L_0.
Logo, a energia potencial elástica da mola é
U(x_1,x_2) \;=\;\tfrac12\,k\bigl[(x_2 - x_1) - L_0\bigr]^2.

Passo 3

Para encontrar pontos críticos de U, impomos
\frac{\partial U}{\partial x_1}=0 \quad\text{e}\quad \frac{\partial U}{\partial x_2}=0.
Calculando as derivadas parciais:
\frac{\partial U}{\partial x_1} =\tfrac12\,k\cdot2\bigl[(x_2 - x_1)-L_0\bigr]\cdot(-1) =-\,k\bigl[(x_2 - x_1)-L_0\bigr],
\frac{\partial U}{\partial x_2} =\tfrac12\,k\cdot2\bigl[(x_2 - x_1)-L_0\bigr]\cdot(+1) =\,k\bigl[(x_2 - x_1)-L_0\bigr].

Passo 4

Da condição de ponto crítico,
-k\bigl[(x_2 - x_1)-L_0\bigr]=0 \quad\Longrightarrow\quad (x_2 - x_1)-L_0=0 \quad\Longrightarrow\quad x_2 - x_1 = L_0.
Essa é exatamente a configuração em que a mola está em seu comprimento natural, sem tração nem compressão, ou seja, as forças trocadas pelas massas anulam‐se.

Passo 5

Para confirmar que esse ponto crítico é de mínimo (e não de máximo ou sela), examinamos a segunda derivada ao longo da coordenada relativa \xi=x_2-x_1. Em termos de \xi,
U(\xi)=\tfrac12\,k(\xi-L_0)^2,
cuja segunda derivada é
\frac{\mathrm{d}^2U}{\mathrm{d}\xi^2}=k>0.
Como k>0, trata‐se de mínimo em \xi=L_0. A direção de translação do centro de massa é neutra (modo zero de energia), mas não afeta a conclusão de que, em relação à deformação, U é mínima quando \xi=L_0.

Resposta

A configuração de equilíbrio satisfaz
x_2 - x_1 = L_0,
obtida exatamente pela condição de minimização da energia potencial total do sistema.

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