Mostre que, para um sistema de duas massas conectadas por uma mola ideal, a configuração de equilíbrio pode ser obtida pela minimização da energia potencial total do sistema.
Passo 1
O enunciado nos dá um sistema com duas massas
e
ligadas por uma mola ideal de constante elástica
e comprimento natural
. Não há outras forças conservativas (por exemplo, desprezamos a gravidade ou consideramos superfície horizontal sem atrito), logo a única energia potencial é a elástica da mola. O objetivo é mostrar que a configuração de equilíbrio estática coincide com o ponto em que a energia potencial total
é mínima.
Passo 2
Escolhemos como variáveis as posições
e
das massas numa linha reta. A deformação da mola é
Logo, a energia potencial elástica da mola é
Passo 3
Para encontrar pontos críticos de
, impomos
Calculando as derivadas parciais:
Passo 4
Da condição de ponto crítico,
Essa é exatamente a configuração em que a mola está em seu comprimento natural, sem tração nem compressão, ou seja, as forças trocadas pelas massas anulam‐se.
Passo 5
Para confirmar que esse ponto crítico é de mínimo (e não de máximo ou sela), examinamos a segunda derivada ao longo da coordenada relativa
. Em termos de
,
cuja segunda derivada é
Como
, trata‐se de mínimo em
. A direção de translação do centro de massa é neutra (modo zero de energia), mas não afeta a conclusão de que, em relação à deformação,
é mínima quando
.
Resposta
A configuração de equilíbrio satisfaz
obtida exatamente pela condição de minimização da energia potencial total do sistema.