Considere uma partícula em queda livre sob a ação da força de resistência do ar dada por \mathbf{f}=-k v^{2} \hat{\mathbf{v}}, onde \mathbf{v}=v \hat{\mathbf{v}} é o vetor velocidade da partícula e k é uma constante. a) Calcule a energia dissipada pela força de resistência do ar desde o instante em que a partícula é solta do repouso até ter percorrido uma distância z. b) Calcule a taxa de variação da energia mecânica, d E / d t, do sistema.

Passo 1

O enunciado trata de uma partícula de massa m em queda vertical, sujeita à gravidade e à força de resistência do ar
\mathbf{f} = -\,k\,v^{2}\,\hat{\mathbf{v}},
com k>0.
(a) Queremos a energia dissipada pela força de arrasto desde o repouso até ter caído uma distância z.
(b) Queremos a taxa de variação da energia mecânica E = K + U do sistema, onde K é a energia cinética e U a potencial gravitacional.
Para resolver, vamos usar:
  1. A equação de movimento
  2. A relação entre trabalho de uma força não conservativa e energia dissipada
  3. A expressão do trabalho por unidade de tempo dE/dt = \mathbf{f}\cdot\mathbf{v}.

Passo 2

Primeiro encontramos v em função de z. Da segunda lei de Newton ao longo da direção da queda:
m\,\frac{dv}{dt} = m\,g - k\,v^{2}.
Usando \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dz}\,\frac{dz}{dt} = v\,\frac{dv}{dz}, obtemos
m\,v\,\frac{dv}{dz} = m\,g - k\,v^{2}.
Separe as variáveis e integre de v=0 em z=0 até v=v(z) em z:
\int_{0}^{v} \frac{m\,v'\,dv'}{m\,g - k\,v'^{2}} = \int_{0}^{z} dz'.
A integral à esquerda dá
-\frac{m}{2k}\,\ln\bigl(mg - k\,v^{2}\bigr)\Big|_{0}^{v} = \frac{m}{2k}\,\ln\!\biggl(\frac{mg}{mg - k\,v^{2}}\biggr)
e, portanto,
z = \frac{m}{2k}\,\ln\!\biggl(\frac{mg}{mg - k\,v^{2}}\biggr).
Invertendo para v^{2}:
mg - k\,v^{2} = mg\,e^{-2kz/m} \quad\Longrightarrow\quad v^{2}(z) = \frac{mg}{k}\Bigl(1 - e^{-2kz/m}\Bigr).

Passo 3

A energia dissipada pela força de arrasto (positiva) é
D(z) = -\int_{0}^{z}\mathbf{f}\cdot d\mathbf{r} = -\int_{0}^{z}\bigl(-k\,v^{2}\bigr)\,dz' = k\int_{0}^{z}v^{2}(z')\,dz'.
Mas uma via mais simples é usar o balanço de energia:
\text{trabalho da gravidade} = \Delta K + D \;\Longrightarrow\; mg\,z = \tfrac12 m\,v^{2}(z) + D(z),
logo
D(z) = mg\,z - \tfrac12 m\,v^{2}(z).

Passo 4

Substituindo v^{2}(z) achado no Passo 2:
D(z) = mg\,z - \tfrac12 m\;\frac{mg}{k}\Bigl(1 - e^{-2kz/m}\Bigr) = mg\,z - \frac{m^{2}g}{2k}\Bigl(1 - e^{-2kz/m}\Bigr).

Passo 5

A taxa de variação da energia mecânica E = K + U é igual ao trabalho por unidade de tempo das forças não conservativas. Aqui só o arrasto faz trabalho não conservativo, e
\frac{dE}{dt} = \mathbf{f}\cdot\mathbf{v} = -\,k\,v^{2}\,v = -\,k\,v^{3}.

Resposta

a) A energia dissipada até percorrer z é
D(z) = mg\,z \;-\;\frac{m^{2}g}{2k}\Bigl(1 - e^{-2kz/m}\Bigr).
b) A taxa de variação da energia mecânica é
\frac{dE}{dt} = -\,k\,v^{3}.

Exercícios relacionados