Uma piloto esportivo de motocicleta vai subir uma rampa circular de raio R partindo do repouso, do ponto mais baixo da rampa, até uma altura h. Sabendo que o módulo da força tangente à curva resultante que age sobre a motocicleta é constante e vale f, e que a massa da motocicleta em conjunto com o piloto vale m, calcule: a) o módulo da velocidade da motocicleta na altura h ; \mathrm{b}) o tempo que leva para fazer este percurso.

Passo 1

O enunciado diz que uma motocicleta (mais piloto) de massa m parte do repouso no ponto mais baixo de uma rampa circular de raio R e sobe até atingir altura h. A força tangente resultante ao longo da rampa é constante e vale f. Precisamos achar:
– (a) a velocidade em altura h;
– (b) o tempo gasto para percorrer o trecho.
Conteúdo envolvido: movimento ao longo de uma trajetória curva, força tangencial constante e cinemática com aceleração constante.

Passo 2

Primeiro relacionamos a altura h com o ângulo central \varphi e com o comprimento do arco s:
h = R\bigl(1 - \cos\varphi\bigr)
\varphi = \operatorname{arccos}\!\bigl(1 - \tfrac{h}{R}\bigr)
Como o arco de círculo correspondente a \varphi tem comprimento
s = R\,\varphi\,,
essa é a distância percorrida pela moto.

Passo 3

Como a força tangente resultante é constante e igual a f, a aceleração tangencial é
a_t = \frac{f}{m}\quad(\text{constante}).
Partindo do repouso com aceleração constante, vale a relação de cinemática
v^2 = 2\,a_t\,s
logo
v = \sqrt{2\,\frac{f}{m}\,s} = \sqrt{2\,\frac{f}{m}\,R\,\varphi}\,.

Passo 4

Para o tempo, usamos
s = \tfrac12\,a_t\,t^2
de onde
t = \sqrt{\frac{2\,s}{a_t}} = \sqrt{\frac{2\,m\,s}{f}} = \sqrt{\frac{2\,m\,R\,\varphi}{f}}\,.

Resposta

(a) v = \sqrt{2\,\frac{f}{m}\,R\,\operatorname{arccos}\!\bigl(1 - \tfrac{h}{R}\bigr)}
(b) t = \sqrt{2\,\frac{m}{f}\,R\,\operatorname{arccos}\!\bigl(1 - \tfrac{h}{R}\bigr)}

Exercícios relacionados