Uma fonte sonora \Lambda está localizada em x=0, y=0, e a fonte sonora B está localizada em x=0, y=2,4 m. As duas fontes irradiam coerentemente e em fase. Um observador em x=15 m, y=0, nota que, dando alguns passos a partir de y=0, tanto no sentido +y, quanto no sentido -y, a intensidade sonora diminui. Quais são a frequência mais baixa e a frequência seguinte à mais baixa, emitidas pela fonte, que podem dar conta desta observação?

Passo 1

O enunciado dá duas fontes coerentes e em fase situadas em (0,0) (fonte \Lambda) e (0,2,4\,\mathrm m) (fonte B). Um ouvinte está em (15\,\mathrm m,0) e, ao andar para \pm y, nota que a intensidade sonora diminui, ou seja, em y=0 há um máximo de interferência construtiva. Para resolver isso vamos:
  1. Calcular a diferença de caminho em y=0.
  2. Impor que essa diferença seja igual a um múltiplo inteiro de \lambda (condição de máximo).
  3. Encontrar as frequências correspondentes aos menores inteiros m.

Passo 2

Em y=0 as distâncias das fontes até o ouvinte são
d_\Lambda = \sqrt{15^2 + 0^2} = 15\;\mathrm m,
d_{B} = \sqrt{15^2 + 2{,}4^2} = \sqrt{225 + 5{,}76} = \sqrt{230{,}76} \approx 15{,}19\;\mathrm m.
Logo a diferença de caminho é
\Delta = d_{B} - d_{\Lambda} \approx 15{,}19 - 15 = 0{,}19\;\mathrm m.

Passo 3

Para haver máximo construtivo em y=0 precisamos de
\Delta = m\,\lambda,
com m\in\mathbb{Z}. Assim
\lambda_m = \frac{\Delta}{m}.
A frequência correspondente é
f_m = \frac{c}{\lambda_m} = \frac{m\,c}{\Delta},
onde c é a velocidade do som (adotamos c=340\,\mathrm{m/s}).

Passo 4

Para encontrar as menores frequências tomamos m=1 e m=2:
f_1 = \frac{1 \cdot 340}{0{,}19} \approx 1789\;\mathrm{Hz},
f_2 = \frac{2 \cdot 340}{0{,}19} \approx 3578\;\mathrm{Hz}.

Resposta

A frequência mais baixa é aproximadamente 1789\,\mathrm{Hz} e a seguinte é aproximadamente 3578\,\mathrm{Hz}.

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